関数の連続

(1) f(x,y) = (xy^2)/(x^2+y^4)　(x,y) /= (0,0)
　　f(x,y) = 0　　　　　　　　　(x,y) = (0,0)

(2) f(x,y) = (xy(y^2-x^2))/(x^2+y^2)　(x,y) /= (0,0)
　　f(x,y) = 0　　　　　　　　　　　　(x,y) = (0,0)

(1),(2)の関数が原点(0,0)で連続かどうか調べるにはどうしたらいいのですか？
連続の定義は lim(x→a) f(x) = f(a) ですがよくわかりません。
どなたか具体的な解き方を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： uzumakipan 回答日時： 2008/02/07 23:02

こんばんは。

2変数の関数の連続性は1変数の場合と少し異なり、注意が必要です。なぜならば、1変数の場合、x→a は aに左右から近づける2通りの近づき方しかありません。しかし、2変数の場合、(x,y)→(a,b)は(a,b)への近づき方は無限にあります（この違いはとても重要です。きちんと理解してください）。ですから、2変数の関数の連続性　lim{(x,y)→(a,b)} f(x,y) = f(a,b) は(x,y)を(a,b)にどのように近づけても f(a,b) となることを示しています。このことを踏まえると

(1) f(x,y)= (xy^2)/(x^2+y^4) を y=x^{1/2} に沿って原点に近づけると

　　 f(x,y) = (xy^2)/(x^2+y^4)
　　　　　　= x^2/2x^2 (←y=x^{1/2}を代入)
　　　　　　= 1/2

　　　したがって、この場合　lim{x,y→0}f(x,y)=1/2　となるため原点では不連続となる。

(2) 局座標　x=r・cosθ　y=r・sinθ　を代入すると

　　 f(x,y) = (xy(y^2-x^2))/(x^2+y^2)
　　　　　　= (-r^2/4)sin4θ (途中の計算は略しました)

　　したがって、r→０とするとθに関係なくf(x,y)→0 となるためf(x,y)は原点で連続である。

となります。

No.1 回答者： looker1986 回答日時： 2008/02/07 03:24

極座標で考えるとよいです。

x=rcosθ, y=rsinθを代入してr→0を考えましょう。

どちらも連続ですかね。