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こんばんは。よろしくお願いします。

 ax^2 + (a^2+4)x + 4a = 0
 x^3 + ax^2 - ax - 4=0

が少なくとも1つの共通解を持つような定数aを定めよ

という問題で悩んでいます。
解と係数の関係は2次,3次ともに公式くらいは分かるのですが,
なかなか解答には手が届きません。

計算が煩雑になってしまう場合には,方針だけでも教えて頂けると助かります。
もし分かる方がおりましたら,もし早めに回答してもらえると非常に助かります;
よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

もし、計算に自信があるなら、aを消してやろう。



aα^2 + (a^2+4)α + 4a = 0 ‥‥(1)、 α^3 + aα^2 - aα - 4=0 ‥‥(2).
(2)より、a(α^2-α)=4-α^3 ‥‥(3)
α^2-α≠0は直ぐ分るだろうから、a=(4-α^3)/(α^2-α)より、これを(1)に代入して計算してやると、かなり計算が面倒だが、α(α^2-4)^2=0より、α≠0からα=±2.
このとき、(a、α)=(2、-2)、(-2、2)。
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別に難問でもなんでもない。


共通解αを先に求めるか、定数のaを先に求めるかの違いで方法は大別されるし、しかも、この問題は片方が因数分解できてしまうという大味な問題。
(1)でaの次数が異なるから、aを先に消してαを求めようとすると、計算が五月蝿そうなので、αを先に求めよう。
それは同時に、因数分解に気が付かない場合の回答。

共通解をαとすると、aα^2 + (a^2+4)α + 4a = 0 ‥‥(1)、 α^3 + aα^2 - aα - 4=0 ‥‥(2).
(1)において、a=0とすると、α=0となるが(2)を満たさないから不適。
(1)*a+(2)を作ると、α{aα^2 + (a^2+a)α + 4 }=0となるが、α≠0より、aα^2 + (a^2+a)α + 4=0‥‥(5)
(1)+(5)より、α(α+a)^2=0となるが、α≠0よりα+a=0.
これを(2)に代入すると、a=±2.  以下省略。
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ax^2+(a^2+4)x+4a=0


(ax+4)(x+a)=0
x^3+ax^2-ax-4=0
------
 x=-a
 -a^3+a^3+a^2-4=0
 a=2,-2
a=2
 (2x+4)(x+2)=0------> x=-2(ok)
a=-2
 (-2x+4)(x-2)------> x=2(ok)
------
 ax=-4
 x^3+ax^2=0
 (x^2)(x+a)=0
 x≠0,x=-a(既出)
--------------------------------
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初めて見る問題です。

;;
経験浅いなりに考えると、・・・
3次方程式の解を α , β , γ とおく、
2 次方程式の解は、(x + a) (ax + 4) = 0 とできるので、
x = -a , - 4 / a となる。(A = -a , B = - 4 / a とおく、)

ここで、少なくとも1つの共通解を持つ
 ⇒ ( A - α ) ( A - β ) ( A - γ ) = 0 が成り立つ
 または、( B - α ) ( B - β ) ( B - γ ) = 0 が成り立つ
 後は、解と係数の関係により、α , β , γ をつぶしていけば a が求まるのでは?
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うーん、自信はありませんが、



「共通解が少なくとも1つ」ということから、x = Aなどと置いて共通解を1つ置き、これを代入すると両方の方程式の解なので、(方程式)=0から、aについて整理して、aについて解をだせばよい。

と思ったのですが、共通解が残ってしまうので、違うかもしれません。

今まで試した方法を教えてくれると、他の方法を探せますが・・・
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