加速度が変化する場合の自由落下について

地球を半径Rの球とします。地表面から高さRの点から物体を自由落下させ、物体が地表面に着くまでの時間はいくらですか。
ただし地球表面での重力加速度をgとし地球の質量は中心に質点として存在し、空気抵抗や地球の自転・公転・他の星の重力の影響は無視でき、物体の質量は地球に比べ十分に小さいとします。

という問題なんですが、地球表面の重力加速度から万有引力定数Gを出して瞬間の加速度と地表からの距離をtに関する変数だと考えて行けば出来る気がするのですが、微分積分の知識が必要らしく手詰まりです・・・
詳しい解説をお願いします。

No.1 回答者： gyrch 回答日時： 2008/09/09 08:09

まず、どの積分が出来ないのか等、どこで詰まったかを書いてください。

No.2 回答者： Meowth 回答日時： 2008/09/09 15:29

地球を半径R 質量M　

万有引力定数G
g=GM/R^2
地球の中心からの距離をｒとすれば
mr''=-GMm/r^2
t=0　r=２R
r''=-gR^2/r^2
gR^2=(2/3A)^2　とおいて、
r''=-(2/3A)^2/r^2
エネルギー積分すると
(r')^2=(2/3A)^2/r
r^(1/2)r'=-2/3A
r^(3/2)=-At+(2R)^(3/2)
r=Rとなるのは
At={(2√2-1}(R)^(3/2)
At={(2√2-1}(R)^(3/2)
3R√g/2=A
t=2/3{(2√2-1}√(R/g)

No.3 回答者： gyrch 回答日時： 2008/09/09 16:06

>ANo.2

面白いギャグですね。ｗ

No.4 回答者： yokkun831 回答日時： 2008/09/09 16:06

エネルギー保存により，

1/2 mv^2 - GMm/r = -GMm/(2R)
すると，GM=gR^2を考慮して
v=-dr/dt = R√(2g)√[{1-r/(2R)}/r]
変数分離して
T=-1/{R√(2g)}∫[2R:R]√r/√{1-r/(2R)}dr
r=2Rsin^2θ　と変数変換すると
T=-4√(R/g)∫[π/2:π/4]sin^2θdθ=(π+2)/2・√(R/g)
となりましたが，あってるでしょうか？
＃２さん，エネルギー積分で積分定数が落ちました。

No.5 回答者： gyrch 回答日時： 2008/09/09 16:22

>ANo.4

地球の運動エネルギーは０ですか？
つまり、命題

M>>m　→　MV^2<<mv^2

は真ですか？

No.6 回答者： yokkun831 回答日時： 2008/09/09 16:39

>　M>>m　→　MV^2<<mv^2　は真ですか？

自明とは思いましたが，ご指摘いただきましたので・・・
運動量保存により，
V^2/v^2 = m^2/M^2
したがって，
(MV^2)/(mv^2) = m/M << 1

No.7 回答者： Meowth 回答日時： 2008/09/10 19:05

(訂正）

地球を半径R 質量M　
万有引力定数G
g=GM/R^2
地球の中心からの距離をｒとすれば
mr''=-GMm/r^2
t=0　r=2R, dr/dt=0
r''=-gR^2/r^2
gR^2=A^2　とおいて、
r''=-A^2/r^2
エネルギー積分すると[t=0,dr/dt=0]
(r')^2=2A^2{1/r-1/(2R)}
(r')^2=A^2{2/r-1/R}
(2/r-1/R)^(-1/2)r'=-A
√(r/R)/√(2-r/R)r'=-A
積分して
t=0：r=2R
R^(3/2)(2atan(√(2R/r-1))+√r/R√(2-r/R))=At
r=Rとなるのは
R^(3/2)(π/2+1)=At
R^(1/2)(π/2+1)=√gt
t=(π/2+1)√(R/g)