糸を鉛直にして手を離すとき、ヨーヨーの落下する加速度aと糸の張力T、
また糸が伸びきってから巻き上がる時の加速度と張力を求めたい。
(ただしヨーヨーは質量M、中心の周りの慣性モーメントI、糸の巻きつく部分は半径r。)
まず、鉛直下方にx軸を取ると
Ma=Mg-T
回転角をθとすると、
v=rω (v=rθ´)
重心の周りの角運動量は Iω (Iθ´)
ここまでは分かったのですが、ほかにどのような条件を混ぜてa、Tを求めてよいか分かりません。
ちなみに答えは
a=g/(1+I/Mr^2)
T=gMI/(I+Mr^2)
になります。
また、落下と上昇ともに答えが同じになるのはなぜなのでしょうか?
どなたか解説をよろしくお願いします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#1,2ですが,補足に対する回答です.
並進運動:Ma=Mg-T ・・・(1)
回転運動:Idω/dt(=Id^2θ/dt^2)=T・r ・・・(2)
拘束条件:v=rω ⇒ a=rdω/dt ・・・(3)
(3)を(1)に代入,さらに両辺r倍して
Mr^2dω/dt=Mgr-Tr ・・・(4)
(4)+(2)より
(Mr^2+I)dω/dt=Mgr
⇔dω/dt=Mgr/(Mr^2+I) ・・・(5)
r倍して(3)より
a=Mgr^2/(Mr^2+I)=g/(1+I/Mr^2)
これと(1)より
T=Mg-Ma
=Mg(1-a/g)
=Mg{1-1/(1+I/Mr^2)}
=MgI/(Mr^2+I)
回答ありがとうございます。
お礼が遅れてしまい、申し訳ありません。
詳しい回答で分かりやすかったです。
式の変形に工夫を感じるのですが、やっぱり慣れでしょうか…。
自分でも計算してみたところ、ちゃんと答えが出ました。
式の変形をもう少し練習したいと思います。
何度も補足をしてもらい、申し訳ありませんでした。
ありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
oshiete_gooさんのように運動方程式でも解けますが
エネルギーの形式からでも解けます。
位置エネルギーが全部運動エネルギーに変換されるとすると
運動エネルギー=位置エネルギー
という式を立てればいいことが分かります。
運動エネルギー=回転のエネルギー+並進運動のエネルギー
(1/2)Iω^2+(1/2)M(rω)^2
位置エネルギー=重力×距離
Mg∫(rdθ/dt)dt = Mgr∫ωdt
なので、あとは両辺をtで微分すると解が得られます
((d/dt)∫ωdt=ωに注意 )。
こう考えると何が良いかというと、まずTが含まれない。
次にちょっとした解釈もできます。
運動エネルギー=(1/2)Iω^2+(1/2)M(rω)^2
=(1/2)(I/r^2+M)v^2
となって、重心の運動(重心の速さv)から見ると
(I/r^2+M)があたかも質量のように見えるということです。
M'=(I/r^2+M)
と置くと
(1/2)M'v^2=M'{Mg/(I/r^2+M)}h
となって(hは重心の高さ)新しい重力加速度g'は
g'=g{M/(I/r^2+M)} (つまり、答えの加速度)
です。あとは、自由落下の式と同じで、
最下点でちょうど床に当たって跳ね返るのと同じように
同じ加速度で運動します。
回答ありがとうございます。
お礼が遅れてしまい、申し訳ありません。
エネルギーを使った解き方は考えてはいたのですが、途中までしか分からず挫折していました。
ひとつの見方ではなく、いろいろな方法で問題が解けると嬉しいです。
>重心の運動(重心の速さv)から見ると
(I/r^2+M)があたかも質量のように見えるということです。
なるほど。このような考え方もできるのですねぇ。
g'=g{M/(I/r^2+M)} (つまり、答えの加速度) に納得です。
ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
#1です.
失礼しました.間抜けなことに,ご質問の答の肝心の式
Idω/dt(=Id^2θ/dt^2)=T・r
がありませんでした.
角運動量の時間変化率=糸の張力によるモーメント
です.
回答ありがとうございます。
教えていただいた式の意味は良く分かったのですが、どうしても答えがでません。
似たような答えにはなるのですが。
もし良かったら式の変形を教えてください。
>放物運動の時と同じではありませんか.(速度に依存しない外力による加速度運動なので.)
なるほど。放物運動ですか…。
なんとなく違う答えになるような気がしたのですが、勘違いですね;
補足をよろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
糸の上端が固定されているとすると
「ほどける(または巻き付く)糸の長さ=ヨーヨーの重心(中心)の移動距離」
という拘束条件(束縛条件)があるので,
時間微分して,速度についても加速度についても同様の関係が言えて,
重心加速度aと角加速度 θ''=d^2θ/dt^2 について
a=rθ''
が成立します.
>落下と上昇ともに答えが同じになるのはなぜなのでしょうか?
放物運動の時と同じではありませんか.(速度に依存しない外力による加速度運動なので.)
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