地球上では重いものほど速く落ちるか？

Question

友人と自転車で走っている時にふと思ったことです。坂道で初め同じような速度で走っていても坂道の最後には必ずかなりの速度差がついてしまうのです。僕は体重９５キロ、彼は５０キロ前半だと思いますが、いつも僕のほうが速くなってしまうのです。これは一体何故なのでしょうか？　純粋に重力のみを考えれば体重に関係なく、速度は一定で増加し、坂道を下り終えたところでも速度は一緒のはずです。もちろん現実では空気抵抗もありますし、タイヤと路面の摩擦、チェーン等の動力部分にかかる摩擦もあるでしょう。しかし空気抵抗は高速になればかなり効いてくるとは思いますが、自転車の速度なんて高々知れたものです。そのような低速な条件下でそれほどの速度差を生むものなのでしょうか？　また上に挙げたような摩擦力もそれほど大きな速度差を生む原因とは常識的に考えにくいと思いますが、皆さんはどうお考えでしょうか？　地球上ではやはりアリストテレスの「重いものほど速く落ちる」というのは正解だったのでしょうか？

noname#11476 · Accepted Answer

まず
ａ＝ｇ－Ｃ×Ｖ＾２／Ｍ＾（１／３）
ですが、速度Ｖ＝０の時には第二項は０になります。
つまり加速度は体重に関係なく同じになります。

あと、時間ｔを含む式としてＶ（ｔ）をさらに加速度で表すと、
Ｖ（ｔ）＝積分｛ａ（ｘ）ｄｘ｝（範囲ｘ＝０～ｔ）
となりますので、積分を含む式となります。
このＶ（ｔ）の式をａ（ｔ）＝の式に代入するわけですね。
つまり簡単な式ではないんですよ。
Ｖ＝ａｔと簡単に書けるときはａ＝時間によらず一定という条件の場合のみです。

あと空気抵抗についてですが、－ｋｖは簡略または近似でしょうね。
でも速度の二乗に比例するのは直感的にイメージできますけどね。
私はバイク乗りなので、速度を出していくと急激に空気抵抗におそわれますので。（オフでは結構つらい、、）
http://www.tokyo-bay.ne.jp/~watanabe/ecorun/frameset/main_window/resistance/air_flow_resisitance/air_flow_resistance.html
とか、
http://ace.ees.utsunomiya-u.ac.jp/netu/kougaku/chap9.html
などをご参照下さい。
私は特に専門家というわけではないので、詳細はよくわかっていませんので。^^;

wolv · Answer

空気抵抗は、粘性抵抗f1と慣性抵抗f2の２種類あって、例えば半径aの球の場合は
　　　f1 = 6 π a η υ
　　　f2 = (π/4)ρ0 a^2 υ^2 
となります。

参考URL：http://www2s.biglobe.ne.jp/~butsuri/html/kyuukeishitsu.html

kikero · Answer

＃１３の方へ
　下りでの自転車の速度は５０km以上出ます。３０kmなんてなんてことない。私は毎日自転車通勤ですが、必ず４０kmくらい出ています。別に大した風圧では有りません。
　もっとも、６０ｋｍ以上出そうと思えば物凄い下り坂でも更に漕が無ければ風圧が邪魔しますけど。

noname#11476 · Answer

体の大きさを表す指数をＡとすると、体重Ｍと体の前面の面積Ｓは、大雑把に言うと、
Ｓ＝Ａ＾２
Ｍ＝Ａ＾３
と考えても良いですね。言い換えると、
Ｓ＝Ｍ＾（２／３）
です。

そして、大雑把に言うと、
・空気抵抗Ｆｒは速度Ｖの二乗に比例して大きくなる。
・空気抵抗Ｆｒは面積Ｓに比例して大きくなる。
という関係が成立します。つまり定数をＣとすると、
Ｆｒ＝Ｃ×Ｓ×Ｖ＾２
です。
さて、ここに先ほどの式を代入すると、

Ｆｒ＝Ｃ×Ｍ＾（２／３）×Ｖ＾２

さて、物体の加速度ａは重力による力をＦｇ＝Ｍ×ｇ（ｇ：重力加速度の何割か：坂の傾斜で決まる）とすると、
Ｆｇ－Ｆｒ＝Ｍ×ａ
ａ＝（Ｆｇ－Ｆｒ）／Ｍ
ですね。
では全部をまとめると、
ａ＝（Ｍ×ｇ－Ｃ×Ｍ＾（２／３）×Ｖ＾２）／Ｍ
　＝ｇ－Ｃ×Ｖ＾２／Ｍ＾（１／３）
となります。
加速度ａは
・質量Ｍが大きくなると第二項は小さくなるからａは大きくなる。
・速度Ｖが大きくなると、第二項は二乗に比例して大きくなるからａは小さくなる。
となりますね。

では実際に人間のＦｒはどのくらいなのというと秒速１０ｍ（つまり１００ｍを１０秒で走るくらい）で３０Ｎ位です。判りやすいように体重６０ｋｇの人の加速度の単位に直してあげると０．４ｍ／ｓ＾２位の加速度を受けることになります。
垂直な重力加速度は約１０ｍ／ｓ＾２で、坂だと２～３ｍ／ｓ＾２程度が進行方向への加速度ですよね。
すると０．４という数値は決して小さくはないのですね。
自転車は１００ｍなら１０秒もかからないからもっと影響は大きくなりますね。

では。

kikero · Answer

落下速度は重力加速度によるもので、真空中では質量に無関係です。
　しかし、空気中では空気抵抗を受け、この抵抗は風を受ける面積に比例します。
　自由落下と空気抵抗がつり合ってもはや加速されず一定になる速度を「終端速度」と言います。
　人間の体が球計だと仮定して見ましょう。
　半径が２倍になると、体重は２の３乗の８倍になりますが、風の抵抗を受けるべき表面積は２の２乗の４倍にしかなりません。つまり、体重当たりの抵抗を受ける面積割合が減るので終端速度は速くなります。
　なお、自転車の性能（機械精度）により下り坂での速度はかなり異なります。

wolv · Answer

ちなみに、時速30kmは約秒速８ｍですよ。
秒速８ｍの風の風圧は無視できるようなもんじゃないと思います。

wolv · Answer

あ、No9の回答を理解しました。

加速を妨げる力をf2とすると、
（一応、物体の質量の関数としておく）

加速するための力：　f = m g cos(x) - f2(m)
力と加速度の関係：　f = m a

これからf,mを消去すると
　a = g cos(x) - f2(m) / m
つまり、mが２倍になってもf2 が２倍ほど増えなければ、
aは大きな値になりますね。

失礼しました。

ken-oo · Answer

理想的な状況、すなわち、自転車と地面との摩擦力が０で
空気抵抗も０であると仮定すると、お二人の加速度はまったく
同じになり、結果として、速度０の状態から同時にスタートすれば、
お二人の速度も常に一致する事になります。

しかし、実際にはお試しの結果のとおり、体重の重たいあなたの
方が最終速度が大きくなります。

これは、主に空気抵抗による影響が０ではなく、しかも体重の軽い
お友達の方により大きく現れるからです。

なぜなら、お友達の方が、体重に対する体表面積の割合が、大きいからです。
例えれば、お友達が1万円札1枚ならば、あなたは１００万円の札束。
正面から見れば同じ大きさですけど、どちらが風に飛ばされやすいかは
明らかでしょう。

言い方を換えれば、「モデル化した人体（同形・同密度）の場合、
体表面積は体長の２乗に比例するが、体重は体長の３乗に比例する」
というわけです。

wolv · Answer

勘違いしてる人が多いようですが、
加速力？だけを考えると、
重さに関係ありません。

いや、加速「力」は確かに変わるのだが、同じだけ加速に必要な力も増えるので、加速度は同じになります。

数式で書くと、斜面に平行な方向へ働く力fは、斜面と水平面の角度をｘとすれば、
　f = m g cos(x) 
になります。mは物体の質量、gは重力加速度です。
物体に力fを加えたときの加速度aは
　f = m a 
です。これらからm,fが消去できて、
　a = g cos(x)
つまり、加速度は物体の質量に無関係に決まります。

linus3030 · Answer

競技スキーの世界では
重い＝早い　は常識です。

重さが２倍なら
加速力は（慣性力も）２倍ですが
摩擦力は２倍も増えないので
加速力－摩擦力で考えると
加速度は重い方が早くなります。

地球上では重いものほど速く落ちるか？

まず

空気抵抗は、粘性抵抗f1と慣性抵抗f2の２種類あって、例えば半径aの球の場合は

＃１３の方へ

体の大きさを表す指数をＡとすると、体重Ｍと体の前面の面積Ｓは、大雑把に言うと、

この回答への補足

落下速度は重力加速度によるもので、真空中では質量に無関係です。

ちなみに、時速30kmは約秒速８ｍですよ。

この回答への補足

あ、No9の回答を理解しました。

理想的な状況、すなわち、自転車と地面との摩擦力が０で

この回答への補足

勘違いしてる人が多いようですが、

競技スキーの世界では

この回答への補足

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