曲率無限大

Question

とある問題の解説に

「全塑性モーメントは曲げモーメントにより全断面が塑性化した時に曲率無限大で一定となった曲げモーメントである」

とあります。
ここで曲率無限大と言うことは直線と言うことかと思いますが
どこが直線で無限大を意味するのか意味がわかりません。
この場合の曲率は応力図の曲がり具合を言っているのか
それとも応力度-ひずみ度曲線の曲がり具合を意味しているのか
何のどこを持って曲率を無限大とあらわしているのでしょうか？

noname#102385 · Accepted Answer

mezaken殿、あなたは賢い！！

＞文章を追いながら応力図を絵に描いてみました。
　　↑　　↑　　↑
これをやってくれる事を期待して＃6を書きました！

＞応力図で表される曲率φとは曲がり具合ではなく回転角になるんですね。
　　↑　　
大正解です！！
これで一件落着ですネ！　ヨカッタ！！

noname#102385 · Answer

nikilauda殿ヘ

＃7の解釈でOKだと思いますよ！

nikilauda · Answer

数々のご無礼を失礼致します。nikilaudaです。
（昨日は、たまの家族サービスをしていてパソコンを覗いていませんでした！）

またまた間違っているかもしれませんが、恥を忍んでcyoi先生の説明から簡略すると、「（5）M＝Myの状態」が三角形の応力を形成する最大値のところであり、M-曲率のグラフはそこを基点として右上がりの直線から急激に？徐々に水平に向かい「My<M<MP」、最終的に限りなく水平に近づき「M＝Mp」　塑性ヒンジ発生。依って曲率無限大に限りなく近づく（近似する）という解釈でOK?ですかね。
この「無限大」という表現自体が便宜上の表現であると思うので、よけい混乱を招きますよね。

それと質問者さんは構造が好きなんですね！こだわるのはとても良いことですよ。ただ試験的にはもう少し要領よくやったほうが、mezakenさんの「利」になるのではないかと思い老婆心ながら言ったまでですので気になさらないで下さい。

noname#102385 · Answer

今日は　cyoi-obakaです。

nikilauda殿、スレ主さんから便乗質問のお許しが出ました！
そこで提案なんですが、私も曲率及び曲率無限大の説明方法に苦慮してますので、
nikilauda殿を含む、このスレに興味の有る方の協力を得て、スレ主さんが理解出来る説明を得たいと思いますのでよろしくお願いします。

まず、私がもう一度、頭を整理してトライしてみます。
部材の曲率及び曲率無限大の説明は、やはりnikilauda殿も申しておりますが、部材の内部応力図で理解するのが最も簡単な様に思います。
そこで、部材（梁材で）の内部応力図の作図に依って説明してみます。
1）梁材を真横から見た図（梁成D）を描く。（水平な平行線、間隔D）
2）梁材の中立軸線nーnを梁成D/2の位置に描く。
3）まず、弾性範囲内の梁材の内部応力図を描き（a）とする。
　　・1）で描いた梁に垂直な断面線dーd'を描く（上端d、下端d'、中立軸線との交点Oとする）。
　　・荷重はO点に曲げモーメントM（時計回り＋）が作用すると想定する。
　　・縁応力度σ　<　降伏応力度σy　として、梁上端dから圧縮応力度σc→を矢印基端として描く（矢印先端をaとする）。
　　・同様に、梁下端d'から引張応力度σt←を矢印基端として描く（矢印先端a'とする）。
　　・この時、σc＝σt　とする事に注意！
　　・a-a' を結ぶ直線を描く（a-a'線はO点を通る）。
4）以上で内部応力図が描けたので、dーd'線とaーa'線が交わる内角をφとする。「この　φ　が部材の曲率です！！」
5）次に　縁応力度σc及びσt＝降伏応力度σy　の応力図を描く（b）。
　　・荷重はM＝My（降伏曲げモーメント）として点Oに時計回りで作用すると想定。
　　・手順は3）と同じですが、σc及びσt　の矢印の長さは3）よりも長く描く事！
　　・内部応力図が三角形Oad（Oa'd'）として描ける最大です。
　　・この時の　曲率φ　は3）より当然大きな値になる。
6）次は　荷重Mが、My<M<Mp　の範囲で作用した時の内部応力図（c）を描く。
　　・縁応力度は　5）と同じ値（降伏応力度）である。
　　・梁の上端及び下端からnーn線までの任意の位置にc及びc'を設定する（c＝c'）。
　　・aーc線（a'ーc'線）はd－d'に平行である（降伏応力度）。
　　・cーc'を直線で結ぶ。
　　・dーd'線とc－c'線の交わる内角φは部材の曲率です。
　　・内部応力図が台形Ocad（Oc'a'd'）として描ける。
　　・c及びc'の増加は、部材の降伏範囲の拡大を表す。
7）最後に　c及びc'がn-n（中立軸線）に到達した時（部材断面の全降伏）の内部応力図を描く。
　　・荷重Mは　M＝Mp（全塑性モーメント）が点Oに作用する。
　　・c及びc'は、共にnーn軸上に存在するから、cーc'線は水平な直線になる。
　　・依ってd－d'線とc－c'線の交わる内角φは90°となるから、その弧は無限大となる。「この状態を曲率無限大と称する！」
　　・内部応力図は　四角形Ocad（Oc'a'd'）と描ける。

以上の関係を　Mー曲率線としてグラフで描けば、
3）～5）まで0<M≦My（降伏曲げモーメント）は比例関係の右上がり直線として描ける。
6）は　My<M<Mp（全塑性モーメント）であり、Mー曲率の関係は徐々に水平に近づく。この時はMと曲率の関係は比例では無い！
7）に依って（M＝Mp）部材は崩壊系を形成する（塑性ヒンジ発生！）。

こんな説明でどうですか？

noname#102385 · Answer

nikilauda殿、このスレはmezaken殿のスレですから、便乗質問はここまでですヨ！

＞Mp＝終局の曲げ耐力 と表現してはおかしいでしょうかね？
　　↑　　↑　　↑
塑性設計における終局（崩壊）曲げモーメントとの表現でしたら、OKですかネ！
曲げ耐力は部材のエネルギー量ですから、歪み（変位）要因が含まれてしまいますので、チョット違いますから注意です。

以上です。

nikilauda · Answer

この場を借りまして、cyoi先生、ご回答ありがとうございます。

おっしゃるように確かに曲率無限大という表現には少し違和感がありますよね。

圧縮力（コンクリート負担）＝引張力（鉄筋負担）の状態は釣合状態というのは勿論分かってはいるのですが、終局破壊された後は偶力が生じたことと同じことではないかと思い「偶力」の表現を使ってみましたが、このような場面で偶力などの言葉を使うのは確かにおかしいですね！

＞しかし、この状態を正確に把握して解析するのは至難の技ですから、
Mp＝D・B/2・σy　と仮定して、曲率無限大と称しているのですネ！
↑
なるほど、確かに仮定として称しているのでしょうね。然るにMp＝終局の曲げ耐力 と表現してはおかしいでしょうかね？何かで聞いたような記憶があるのですが・・・。（直線状態のイメージとは離れてしまう表現ですが）

この場を借りて質問してしまってmezakenさんごめんなさい。

noname#102385 · Answer

＃1です。
＃2のnikilauda殿、お久しぶりですネ！

＞完全な崩壊状態になると、ある意味完全に偶力が発生してしまうことになる「圧縮力（圧縮合力）C＝引張力（引張合力）T」ので、
＞直線状態、曲率無限大と言うより「無」になってしまう？から数学的にはその寸前の一定状態を言うのではではないでしょうか。
　　↑　　↑　　↑
曲率無限大と言う語句が、チョット？なんですよね～！
現実的には、有り得ない事ですよね！　
「曲率無限大に近似する！」と表現すれば良いじゃないかと思ってます。
ただ、塑性設計の基本仮定ですから、無理矢理その様にしているのです。
本来、部材は降伏（全降伏では無いヨ！）後、歪み硬化現象で応力が上昇しますよネ。
でも、塑性設計では、この部分は無視し計算を簡略化している。

＞完全な崩壊状態になると、ある意味完全に偶力が発生してしまうことになる「圧縮力（圧縮合力）C＝引張力（引張合力）T」ので、
＞直線状態、曲率無限大と言うより「無」になってしまう？から数学的にはその寸前の一定状態を言うのではではないでしょうか。
　　↑　　↑　　↑
これはチョット違いますヨ！
圧縮力（コンクリート負担）＝引張力（鉄筋負担）の状態は釣合状態ですから、偶力は生じてませんよ。
＞全塑性モーメントMp＝D×B/2 σy
これ自体が仮定です。
この状態は、「部材の半分が圧縮を負担（コンクリート）し、半分が引張を負担（鉄筋）する」という事です（釣合鉄筋比状態）。
しかし、現実にはこの状態は一瞬です。
圧縮力は一定で、コンクリートの負担面積が減少しσcは増大するし、
引張力は一定で、鉄筋の塑性変形（伸び）の増大が進む。
そして、終局破壊です。
しかし、この状態を正確に把握して解析するのは至難の技ですから、
Mp＝D・B/2・σy　と仮定して、曲率無限大と称しているのですネ！

以上、mezaken殿 nikilauda殿、両氏への参考意見です。

nikilauda · Answer

私もよく分かっていないので申し訳ないのですが・・・。
曲げモーメントが大きくなると緑応力度が降伏応力度に達しますよね。
この場合図にすると三角形の状態で応力が掛かっていると思いますが、さらにその弾性範囲内をこえて曲げモーメントMがかかった場合の応力状態が台形から四角形（長方形）の状態となったときの塑性状態を言っているのでは？

数学では直線状態＝曲率半径無限大＝0とすることを避けるため？に塑性化する寸前の、ある一定状態のことを言っているのではないでしょうか？(全塑性モーメントMp＝D×B/2 σy（降伏応力度）×1/2D　の状態）

完全な崩壊状態になると、ある意味完全に偶力が発生してしまうことになる「圧縮力（圧縮合力）C＝引張力（引張合力）T」ので、直線状態、曲率無限大と言うより「無」になってしまう？から数学的にはその寸前の一定状態を言うのではではないでしょうか。
うーん難しいですね。解釈が違っていたらごめんなさい。
cyoi先生、間違っていますか。

ただ大変失礼ですが、質問者さんはこれまでの質問を見ていて少しこだわり過ぎのように個人的には思います。
私は以前、塑性や崩壊過重に関してもその時使った参考書に載っていたのでノートに一応書きとめていましたが、ほぼ無視しました。（今回そのノートを棚から引っ張り出してきました）
様々な物事に疑問を持つこと、あるいはこだわること自体は大変良いことですが、同じこだわるなら違うところにこだわった方が良いように思うのですが・・・。
質問者さんは研究者向きなのかな？あくまでも個人的な一つの意見で批判ではないので参考程度に流してくださいね。

noname#102385 · Answer

今日は　cyoi-obakaです。

最近の試験問題は、塑性設計の分野まで出題されるんですか？　スゴイですね！
こんな問題では、構造力学の専門家ではないと、何を言っているのか判んないですよね～。

＞曲率無限大と言うことは直線と言うことかと思います
　　　↑　　↑　　↑
これは正解です。

部材の曲率について、先ず説明しないとならないですネ。
曲率は、ある部材に荷重が作用した時の部材の曲がりの状態を表す値ですが、部材内部応力の応力分布の勾配と同一と考えて良いですね！
通常、部材の内部応力分布は弾性範囲であると「三角形分布」で、応力図に曲線は存在しません。
しかし、部材の縁応力が降伏した以降は、上記の三角形分布は壊れ、「台形分布」に成ります。
この状態において応力図に曲線が生じます。
最終的に、部材全断面が降伏応力に達すると、内部応力は「長方形分布」に成ります。
この時の曲げモーメントが部材の全塑性モーメントMpと言い、一定値と成ります。
部材が全塑性モーメントに達すると、それ以降、内部応力の増加は生じず歪み（伸び変形）のみが部材破断まで続くと仮定しているのです。
この状態が曲率無限大（水平な直線状態）と称してます。
単純に考えれば、応力ー歪み曲線での、部材降伏以降を水平な塑性（応力の増加は無い）と仮定したものと考えれば、水平な塑性＝曲率無限大でよいと思います！

結論ですが、私の解釈は　部材の内部応力図の勾配＝部材の曲率　と思ってます。ちょっと難しいかな～？

この問題は、軽くパスしたのが良いかも…………？！

曲率無限大

mezaken殿、あなたは賢い！！

nikilauda殿ヘ

数々のご無礼を失礼致します。

今日は cyoi-obakaです。

nikilauda殿、このスレはmezaken殿のスレですから、便乗質問はここまでですヨ！

この場を借りまして、cyoi先生、ご回答ありがとうございます。

＃1です。

私もよく分かっていないので申し訳ないのですが・・・。

今日は cyoi-obakaです。

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