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A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
質点が距離 Δx だけ運動する間の運動エネルギーの変化 Δ(m v^2 / 2) (= m v Δv)は、その間に摩擦力のする仕事に等しく - b v Δx 。
よって、m v Δv = - b v Δx 。
これから
Δx = - (m / b)Δv 。
抵抗力がかかり始めてから質点が止まるまでの Δv は - v0 。よって、その間の Δx は
Δx = m v0 / b 。
No.2
- 回答日時:
こんにちは。
たぶん b>0 だということなのでしょうね。
であれば、抵抗力は、-bv
No.1様のご説明のとおり、
-bv = m・dv/dt
を解くことになりますが、実際やってみると、ちょっとややこしいので、
手順を書いてみますね。
-bv = m・dv/dt
-b/m・dt = dv/v
-b/m・∫dt = ∫dv/v
-b/m・t = ln|v| + C
t=0 のとき v=vo なので、
-b/m・0 = ln|vo| + C
よって、
C = -ln|vo|
よって、
-b/m・t = ln|v| - ln|vo|
-b/m・t = ln|v/vo|
e^(-b/m・t) = v/vo ・・・【A】
これで、vとtの関係が出ました。
次は、x(位置)とtの関係を求めます。
両辺をtで積分。
(vを積分すると、位置xになる)
∫e^(-b/m・t)dt = 1/vo・∫vdt
-m/b・e^(-b/m・t) = x/vo + Cその2
t=0 のとき、x=0 とすれば、
-m/b・e^(-b/m・0) = 0/vo + Cその2
Cその2 = -m/b
よって、
-m/b・e^(-b/m・t) = x/vo - m/b
x = mvo(1-e^(-b/m・t))/b
となります。
これで、xとtの関係が導けました。
しかし、ここからの考え方が大事になります。
式を見てわかるとおり、時間tがどれだけ大きくなっても、xは変化しつづけます。
すなわち、いつまで経っても質点は静止しません!
(式【A】の時点で、すでに、vをゼロにすると、tが無限大になって困るということからもわかります。)
しかしながら、
t→∞ のとき、 e^(-b/m・t) → 0 となりますので、
ある距離に近づく(収束する)ということになります。
t → ∞
x → mvo(1-e^(-b/m・t))/b
→ mvo(1-0)/b
→ mvo/b (= こたえ)
以上、ご参考になりましたら幸いです。
No.1
- 回答日時:
b>0として、質点の進行方向を正の向き(x軸の正の向き)とします。
また抵抗力が働き始める位置をx=0とします。(いただいた問題では「出発点」が記されていませんので、ここを距離を測る原点とします。)このとき、質点が受ける力は-bvのみですから、運動方程式は、質点の質量をmとして、
-bv=m(dv/dt)
となります。「-」符号は、進行方向と逆向きに力が働くことを示します。
これを初期条件、t=0のときv=v0、x=0のもとに解きます。
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