三角関数を含んだ連立方程式の解き方について

三角関数を含んだ連立方程式の解き方について

連立方程式、
1-2*cos(3*x)+2*cos(3*y)=0
1-2*cos(5*x)+2*cos(5*y)=0
でxとyを求めるというものです。

解答はx=23.62°y=33.30°となっていますが、途中式が全て省略されています。
三角関数の入った連立方程式を初めて見たもので、
何らかの三角関数の公式を使うと思うのですが、いい解法が思いつきません。
どのようにして解を導けばよいのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2010/05/16 22:34

Ｎｏ．２です。

コメントにお答えします。

（あ＋い）÷２
cos(4x)cos(x) + cos(4y)cos(y) = 1/2　・・・（う）
（あ－い）÷２
sin(4x)sin(x) + sin(4y)sin(y) = 0　・・・（え）

ここで
a = cos(4x)
b = cos(x)
c = cos(4y)
d = cos(y)
と置くと、

（う）は
ab + cd = 1/2　　・・・（か）

（え）は
√(1-a^2)√(1-b^2) + √(1-c^2)√(1-d^2) = 0　　・・・（き）

式が２本足りないですね。
ａとｂの関係式と、ｃとｄの関係式があればよいです。
４倍角の式ですね。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

この回答へのお礼

大変返事が遅くなり、申し訳ありません。
なるほど、関係式が足りないのですね。
倍角の式もすっかり忘れてしまっており、
今回の問題は三角関数の勉強のいい復習の機会になりました。
sanoriさんをはじめ、皆さんご回答していただきありがとうございました。

お礼日時：2010/05/31 21:27

No.5 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/05/14 16:40

実戦流の方程式変形。

　u = 5x
　v = 5y
とおくと、
　d(u) = acos[cos(u) - (1/2)] - (5/3)*acos[cos(3u/5) - (1/2)]
あるいは、
　e(v) = acos[cos(v) - (1/2)] - (3/5)*acos[cos(5v/3) - (1/2)]
の零点を求める問題になります。

一次微係数 Newton 法の試行では、e(v) のほうの収束が速い。
　　

No.4 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/05/14 16:33

実戦流の方程式変形。

　u = 5x
　v = 5y
とおくと、
　d(u) = acos[cos(u) - (1/2)] - (5/3)*acos[cos(3u/5) - (1/2)]
あるいは、
　e(v) = acos[cos(v) - (1/2)] - (3/5)*acos[cos(5v/3) - (1/2)]
の零点を求める問題になります。

一次微係数 Newton 法の試行では、e(v) のほうの収束が速い。
　　

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/05/14 08:53

>連立方程式、

>1-2*cos(3*x)+2*cos(3*y)=0
>1-2*cos(5*x)+2*cos(5*y)=0
>でxとyを求める

実戦流。
スプレッドシートで強引に下記試行。

　φ = acos[cos(θ) - 1/2]　　←　　cos(θ) - cos(φ) = 1/2
から {θ,φ} の表をつくり、それに平行して、
　cos(3θ/5) - cos(3φ/5) = dc
の表を追加。

dc ≒ 1/2 の行の {θ,φ} を眺めると、
　θ = 2.06 (rad)　　…　5x 相当
　φ = 2.91 (rad)　　…　5y 相当
　　

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
スプレッドシートというと、エクセルでしょうか。
あいにく自宅のパソコンにはエクセルが無いため、試してみることが出来ませんが、
いずれ試してみようと思います。
しかしながら、この手の問題を手計算でやるには本当に大変だなぁ、と実感しました。
皆さんのご回答を見ながら、自分の頭がいかに柔軟でないかを思い知らされます…。

お礼日時：2010/05/16 19:57

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2010/05/13 20:36

こんにちは。

1 - 2cos(3x) + 2cos(3y) = 0
1 - 2cos(5x) + 2cos(5y) = 0

書き直すと
cos(4x-x) + cos(4y-y) = 1/2
cos(4x+x) + cos(4y+y) = 1/2

加法定理を使って
cos(4x)cos(-x) - sin(4x)sin(-x) + cos(4y)cos(-y) - sin(4y)sin(-y) = 1/2
cos(4x)cos(x) - sin(4x)sin(x) + cos(4y)cos(y) - sin(4y)sin(y) = 1/2
から
cos(4x)cos(x) + sin(4x)sin(x) + cos(4y)cos(y) + sin(4y)sin(y) = 1/2　・・・（あ）
cos(4x)cos(x) - sin(4x)sin(x) + cos(4y)cos(y) - sin(4y)sin(y) = 1/2　・・・（い）
となります。

（あ）＋（い）より
2cos(4x)cos(x) + 2cos(4y)cos(y) = 1　・・・（う）
（あ）－（い）より
2sin(4x)sin(x) + 2sin(4y)sin(y) = 0　・・・（え）
となります。

cos(x) = ａ， cos(4x) = ｂ とでも置いてみて、
（う）と（え）と、(sinx)^2 + (cosx)^2 = 1 と、(sin(4x))^2 + (cos(4x))^2 = 1　を用いれば
何とかなりそうな気がしますが。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
式の変形で（う）、（え）が得られるのは分かりましたが、
>>（う）と（え）と、(sinx)^2 + (cosx)^2 = 1 と、(sin(4x))^2 + (cos(4x))^2 = 1　を用いれば
>>何とかなりそうな気がしますが。
という部分で解けそうで解けなく、詰まってしまいました。
自分のやり方がわるいと思いますが、もしまだsanoriさんが見ておられましたら、
ヒントを教えていただけませんでしょうか。
ともあれ、何とかなりそうな希望が見えてきました。ありがとうございます。

お礼日時：2010/05/16 19:54

No.1 回答者： Kules 回答日時： 2010/05/13 18:59

とりあえず問題を見てぱっと思いついたのは

1-2*cos(3*x)+2*cos(3*y)=1+(sin{3(x+y)}-sin{3(x-y)})
1-2*cos(5*x)+2*cos(5*y)=1+(sin{5(x+y)}-sin{5(x-y)})←積和の公式
となるのでx+y=α、x-y＝βとすると
1+sin3α-sin3β=0、1+sin5α-sin5β=0
となります。
3倍角、5倍角でこれをばらしていけば2式はsinα、sinβだけで表せるので
sinαとsinβの連立方程式として解けそうです。
でも解きたくないです(笑)
あまりどこかできれいに文字が消えるとも思いませんし…

力技でよければこれで解けそうですが、試してないのでなんとも言えません。

お役に立てなさそうですね…出直してきます。

この回答へのお礼

お返事が遅くなり申し訳ありません、ご返事ありがとうございます。
試してみましたが、どうにもsinのべき乗の項が多く出てきてしまいますね…。
実際綺麗に消える…ことはありませんでした（笑）
ヒントを与えて下さりありがとうございました。

お礼日時：2010/05/16 19:50