(1)ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc
=…(a+b)(b+c)(c+a)
(2)a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)
=…(a-b)(b-c)(c-a) と問題があり、
(1)は対称式であり、(2)は交代式であると説明がなされていて、
さらに、
対称式は、a+b、b+c、c+a の1つが因数なら他の2つも因数
交代式は、(a-b)(b-c)(c-a) を因数にもつ。
と、説明がなされているのですが、なぜ、
対称式は、~他の2つも因数
交代式は、~を因数にもつ
のかが分かりません。誰か知られている方がおられましたら、教えて下さい!!
A 回答 (9件)
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No.9
- 回答日時:
たびたびすみません。
#1です。頭を冷やして考え直しました。ひょっとして質問者さんは、「#2さんの証明の後に、くだんの論法をして良いか」と聞いているんですか?
だったらOKでしょう(ただし用語の間違いは直してください)。
でも、#2さんの証明法をしたのなら、「同様に、b-c、c-aも因数に持つ。」の方がはるかに簡単です。用語の間違いもせずにすみますし。
あと、前回の私の回答の最後の方で、「だから私は★の証明をしていません。」の★は、a-bをa+bと読み替えてください。
No.8
- 回答日時:
まず#7での私の誤記を訂正。
誤:が正しい。もっとも「a-c,b-c,c-aの一つを因数に持つなら
正:が正しい。もっとも「a-b,b-c,c-aの一つを因数に持つなら
さて、本題。P(a,b,c)が交代式とすると、指摘漏れがありました。
>また、与えられた対称式P(a,b,c)において、bとcを入れ替えた交代式は、
ではなく「また、与えられた交代式P(a,b,c)において、bとcを入れ替えると、」
とすべきです(2箇所訂正)。後半の訂正は要らない気もしますが気持ちが悪いので。
あと、P(a,b,c)=(a-b)Q(a,b,c) ・・・★
が成立しているなら、bとcを入れ替えると、
P(a,c、b)=(a-c)Q(a,c、b) ・・・☆
となる。これは、P(a,b,c)が交代式・対称式・どちらでもない いずれの場合も★を前提としていれば成立する。
あなたの
>-P(a,c,b)=-(a-c)Q(a,c、b)
という式は、☆の両辺に-をつけただけなので、★が成立しているのなら、殆ど意味の無い式です。
a-cをc-aにしたかったのかもしれませんが、因数の有無を示すだけなら、c-aでもa-cでも同じことです。
★からいきなり「交代式なのでP(a,b,c)=-P(a,c,b) 」とし、=P(a,b,c)(c-a)Q(a,c、b)で十分です。
ここで#6の指摘に戻ってしまうのですが・・・
そもそも本問題の後半(交代式の部分)では、「★を証明しろ」と言っていることに気をつけてください。
これに対し、前半(対称式の部分)では、「★が成立しているものとして~~を証明せよ」と言っている。だから私は★の証明をしていません。第一、できませんし。例えばP(a、b、c)=a+b+cという対称式は、a+bを因数に持たないのですから。
No.7
- 回答日時:
>P(a,c,b) はbとcを入れ替えた対称式なのでは、ないでしょうか?
失礼しました。てっきり#5さん(#2さん)のご回答に対する追加質問なので交代式と勘違いしました。
でもそうすると、今度は・・・
>P(a,b,c)=-P(a,c,b) だから、
が変です。対称式なら入れ替えても同じなので
P(a,b,c)=P(a,c,b)
が正しい。もっとも「a-c,b-c,c-aの一つを因数に持つなら残りの2つも因数」という命題は正しいですが。
あと、
>また、与えられた対称式P(a,b,c)において、bとcを入れ替えた交代式は
の表現はおかしい。対称式はいくら入れ替えても対称式(だからこそ対称式)。交代式を入れ替えると符号は変わるけど、入れ替えたものも交代式。
対称式を入れ替えたら交代式になるということはありません。
この回答への補足
banakonaさんは、勘違いしていませんよ。私がお聞きしている事は、
与えられた対称式P(a,b,c)において、bとcを入れ替えた交代式は、符号が変わるので、
-P(a,c,b) になるのではないか? という事です。そこで、P(a,c,b)は、bとcを入れ替えた対称式なのではないか? という事です。
御回答有り難う御座います。しかし、私が回答者様に勘違いをさせてしまったみたいです。よろしければ、補足質問に御回答頂けると、有り難いです。
No.6
- 回答日時:
>No.1さんのやり方で、以下のようにやっても、合っていますか?
でしゃばりの#1です。
まず、題意に反します。対称式の方は「a+b、b+c、c+a の1つが因数なら」という条件がありますが、交代式の方は、無条件です。
仮に、対称式の方と同じ条件があったとしても、流れがおかしい。
>また、与えられた対称式P(a,b,c)において、bとcを入れ替えた交代式は、
の後は P(a,c,b)=(a-c)Q(a,c、b)
とすべきです。次の行は削除して、
>ここで、
>P(a,b,c)=-P(a,c,b) だから、
のあとが P(a,b,c)=-(a-c)Q(a,c、b)
=(c-a)Q(a,c、b)
となって、一応(c-a)が因数であることは示せるけど、前記条件がなくても因数に持つ。
この回答への補足
御回答有り難う御座います。回答者様の御回答中に、
>また、与えられた対称式P(a,b,c)において、bとcを入れ替えた交代式は、
の後は P(a,c,b)=(a-c)Q(a,c、b)
とすべきです。
とありますが、この場合、P(a,c,b) はbとcを入れ替えた対称式なのでは、ないでしょうか?
御回答有り難う御座います。しかし、またまた、回答者様の御回答中に疑問に思う点が御座いましたので
、質問させて頂きます。また、お答え頂けると、有り難いです。
No.5
- 回答日時:
>∴P(b,b,c)=0
>この事から、P(a,b,c)は(a-b)で割り切れる と、なぜ、言えるのかが分かりません。
因数定理は知っていますか。
「多項式 F(x) に対し、F(a)=0 なら F(x) は x-a を因数に持つ」
P(a,b,c)をaに関する多項式とみなして、F(a)=P(a,b,c) と考えると、
F(b)=0 なので、F(a)は a-b を因数に持ちます。
この回答への補足
No.1さんのやり方で、以下のようにやっても、合っていますか?
与えられた対称式P(a,b,c)において、例えば、(a-b)が因数なら、
P(a,b,c)=(a-b)Q(a,b,c) とおける。
また、与えられた対称式P(a,b,c)において、bとcを入れ替えた交代式は、
-P(a,c,b)=-(a-c)Q(a,c、b)
=(c-a)Q(a,c、b) とおける。
ここで、
P(a,b,c)=-P(a,c,b) だから、
=(c-a)Q(a,c、b)
よって、与式P(a,b、c)は(c-a)も因数にもつ。
同様に、aとcを入れ替えた場合について行うと、
与式P(a,b、c)は(b-c)も因数にもつ。
No.4
- 回答日時:
>P(a,c,b) という表現の仕方は、a,b,cから成り立っている多項式P という事でしょうか?
そうです。あと、P(a,b、c)のbとcをひっくり返したということも表現しています。
ついでに答えてしまうと、
>P(b,b,c)=-P(b,b,c) がなぜ、P(b,b,c)=0 になるのかが良く分かりません。そこを詳しく教えて下さい!!
P(b,b,c)=-P(b,b,c)
右辺を左辺に移項して P(b,b,c)+P(b,b,c)=0
2P(b,b,c)=0
∴P(b,b,c)=0
No.3
- 回答日時:
>P(b,b,c)=-P(b,b,c) がなぜ、P(b,b,c)=0 になるのかが良く分かりません。
x=-x なら x=0 でしょ。
この回答への補足
回答者様のNo.2の回答の中の
>a=bとすると、
P(b,b,c)=-P(b,b,c)
∴P(b,b,c)
この事から、P(a,b,c)は(a-b)で割り切れる と、なぜ、言えるのかが分かりません。ここの所を詳しく教えて頂けると、有り難いです。
御回答有り難う御座いました。しかし、まだ疑問に思っている事が御座いましたので、また、補足質問させて頂きます。どうかお答え頂けると、有り難いです。
No.2
- 回答日時:
交代式とは、どの2つの文字を交換しても元の式と符号だけが異なる整式です。
P(a,b,c)=-P(b,a,c)
a=bとすると、
P(b,b,c)=-P(b,b,c)
∴P(b,b,c)=0
つまり、
P(a,b,c)は(a-b)で割り切れるので、(a-b)を因数にもちます。
同様に、(b-c)、(c-a)も因数にもちます。
この回答への補足
回答者様の回答の中の
>a=bとすると、
P(b,b,c)=-P(b,b,c) がなぜ、P(b,b,c)=0 になるのかが良く分かりません。そこを詳しく教えて下さい!!
No.1
- 回答日時:
与えられた対称式P(a,b,c)において、例えば(a+b)が因数なら、
P(a,b,c)=(a+b)Q(a,b,c)
と書ける。ここでbとcを入れ替えると
P(a,c,b)=(a+c)Q(a,c、b)
となるが、P(a,b,c)は対称式なので、P(a,b,c)=P(a,c,b)
つまり、
P(a,b、c)=(a+c)Q(a,c、b)
となるので、与式P(a,b、c)は(a+c)も因数にもつ。
同様のことをaとcを入れ替えた場合について行なえば、(c+b)を因数に持つことも示せる。
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