積分の問題です。次の関数の積分の解説お願いします。

積分の問題です。次の関数の積分の解説お願いします。
１、(sinx)^2(cos)^3
２、(sinx)^3(cosx)^2
3、(cosx)^2/{2-(sinx)^2}
4、1/{cosx(sinx)^2}

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/21 09:39

失礼、かぶった。

というか、オフラインで編集して、
投稿直前に 1 get 確認したのにな…
why

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/21 09:10

1. t = sin x で置積分。

2. t = cos x で置換積分。
3. t = tan x で置換積分。
4. t = sin x で置換積分。

1, 2, 4 の考え方は、共通。
3 は、与式 = 1 / (2 + (tan x)の二乗)
と変形して考える。

No.1 ベストアンサー 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/07/21 09:02

概略だけ。

(1)
sin^2(x)cos^3(x)=[1-cos^2(x)]cos^3(x).

(2)
sin^3(x)cos^2(x)=sin^3(x)[1-sin^2(x)].

(3)
cos^2(x)/[2-sin^2(x)]
=cos^2(x)/[1+cos^2(x)]
=1/[1+1/cos^2(x)]
=f(x)

t=tan(x).
t^2+1=1/cos^2(x).
dt=dx/cos^2(x)=(t^2+1)dt.
f(x)dx=(t^2+1)dt/[1+t^2+1]=[1-1/(t^2+1)]dt.

(4)
t=sin(x).
dt=cos(x)dt.
dx/cos(x)sin^2(x)
=dt/(1-t^2)t^2
=[1/t^2+1/(1-t^2)]dt/2.