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リアクタンスの計算にでてくる 2π の理由がわかりません。
誘導性リアクタンスの場合は 2πfL で容量性リアクタンスの場合は
1/2πfC です。
この式の両方にでてくる 2πf は角周波数のことでさらにこの中の
2πは ラジアンです。
何かの本でラジアンは角度の表現方法のひとつでたとえば2πラジアン
は 2とπを掛け算して表すものではないと読んだことがあります。
ところが最初に書いたように リアクタンス(誘導性)の計算の場合は
そのとおりに2 と 3.14 と 周波数とインダクタンスを掛け算
して求めます。
これはどうしてなのでしょうか?
計算式の 2πはラジアンではないのでしょうか?

A 回答 (11件中1~10件)

No.1、No.3、No.5です。


お節介ににまた出てきました。
諸論出ていますので僭越ながらちょっと整理してみましょうか。

最初は有名なオームの法則で始まるわけですが直流の世界で、いわゆる電気抵抗(直流抵抗、純抵抗)だけです。
交流回路の研究が進むにつれてコイルやコンデンサが入ると抵抗とオームの法則だけでは
処理しきれなくなりました。

そこでインピーダンス、リアクタンスが導入され、さらに位相差まで考えるベクトルが導入されて
交流理論が完成したと思います。

交流は微分・積分をベースに成り立っている世界です。
従って三角関数の微分・積分を理解することが交流理論を理解する早道だと思います。

例を挙げるとAsin(2πft)をtで微分すると2πfAcos(2πft)です。
ここで出てきた頭の2π(または2πf)が最初のご質問と深い関係を持っています。

コイルに流れる電流を微分すると逆起電力に比例する。
だからe/iに2πfが顔を出してくるというわけです。

それはさておき私は70歳前です。電気屋・無線屋なんですが未だに学生時代に習った「電磁気学」が
理解できず生涯の懸案です。
仕事(教職)の合間に何とか勉強して電波の存在を予言した「マクスウエルの電磁方程式」を
理解したいと思っています。今はチンプンカンプンです。
あなたと似たような人間もいるということで、懸案目指してお互いにがんばりましょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
ymmasayanさんはじめ皆さんのおかげで少しづつわかってきましたが、
新たな疑問もでてきまして本をよんだりあちこちのHPをみたりしています。

申し訳ありませんがもう一つご教授お願いします。
これもリアクタンスの件なのですが・・・
インダクタンスに交流を加えると電流はπ/2遅れるわけですが、
これはレンツの法則による逆起電力の電流のことなのですか、
それとも電源からの電流のことなのでしょうか?


電源からの電流はコイルの直流抵抗によりオームの法則で求められる値に
なるのであれば、直流抵抗による電流は電源電圧と同相になりますので
逆起電力の電流との差はどうなるのか
この辺がややこしくて・・・

書き方がまずくて申し訳ありません


微積は昔高校で習っただけで相当長いブランクがありましたので勉強しなおして
います。数IIレベルを終わり数IIIにかかったところで三角関数の微分はこれから
です。最近2πの件では三角関数の加法定理による説明を読みましたが、これは
結局は微分ということですね。

マクスウェルの電磁方程式を勉強されているようですね
いま私が悩んでいるインダクタンスやリアクタンスの遥か彼方に電磁波方程式が
あるのでしょうがこの近くにも到底届かないと思います。

今後も数学と電気を平行して学習していきますが長丁場で一生楽しめそうです

電気に関係する数学の分野でも質問させてもらうかもしれませんが、
そのときはよろしくお願いいたします。

どうかお元気で

お礼日時:2010/08/18 22:33

ymmasayanです。


まだ締め切り前のようなのでお節介をもうひとつ。
コンデンサの話を全くしませんでしたので、この話をしましょう。

また水に例えます。
缶ビールを大きくしたようなタンクを考えます。中央に弾力性のある仕切幕を張ります。
この両端にパイプを取り付けタンクに水を充満させます。

さてこれにポンプをつないで運転してみましょう。
直流だと水圧に釣り合ったところまで幕が伸びてポンプからの水流は止まります。
次にポンプの回転数の正転、逆転を低い周波数の正弦波状に変化させます。
ポンプの水圧と流れ込む水流の関係が電流の90度進みになるのはお分かりですね。

1往復で動く水の量は一定ですから周波数が高いほど往復する水の総量が多くなります。
コンデンサが大きいほど、周波数が高いほど電流が流れやすいというのはこれなんですね。

インダクタンスに戻りますが、直流が通るというのは水車だからです。
流れ始めははずみ車のせいで少ないですが安定状態ではオームの法則が成立します。

コンデンサの場合直流は幕があるので最初だけ流れて後はゼロになります。
インダクタンスでは確かに交流も流れていますが、コンデンサでは電流が往復しているだけで
電流は突き抜けていないのです。
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この回答へのお礼

補足ありがとうございました。
コンデンサの動作もたとえ話でよくわかりました。

加法定理を利用しての説明を本でよみました。
なるほど電流がπ/2進んでますが数式の上の話しで
いってみれば無理やり納得したような感じでしたが
先日のインダクタンスとあわせ身についたような
気がします。

お礼日時:2010/08/21 21:33

ymmasayanです。


補足に回答します。

先に総括してしまいますと、今回のご質問が電気で最も理解しずらい部分の一つだということです。
以前の回答の中で電源電圧と逆起電力が釣り合うところまで電流が増えて安定する、と書きました。
つまり原因が結果を作り、結果が原因に跳ね返ってどこかでバランスするというわけです。
物理で作用・反作用というのが有りますがあれと同じです。
話は飛びますが月は地球を中心にして公転しているといいますが、逆に地球も月の引力の影響を受けて
小さな円(楕円)運動をしながら太陽の周りを公転しているわけですね。

本題です。

> インダクタンスに交流を加えると電流はπ/2遅れるわけですが、
> これはレンツの法則による逆起電力の電流のことなのですか、
> それとも電源からの電流のことなのでしょうか?
電源から流れ込む電流です。
この電流を微分してLをかけたものが逆起電力です。
この逆起電力が電源電圧と釣り合うところで流れ込む電流が決まるのです。

一寸水の例で説明してみましょう。

ポンプと水車が2本のパイプでつないであり、水車に大きなはずみ車がついているとします。
ポンプを正弦波に合わせてゆっくりと正転・逆転を繰り返させると
水車ははずみ車のせいで、ポンプよりも遅れた動作をします。
加速の様子、逆転に入るタイミング、すべてが遅れます。
グラフを書いてみるとポンプの圧力と水流が90度ずれているのが実感できるでしょう。
はずみ車は運動エネルギーを蓄えますが、インダクタンスは電磁エネルギーを蓄えるのです。

余談ですがスイッチを切ったときに火花が飛ぶのは、インダクタンスに蓄えられた電磁エネルギーが
電流を流し続けようとして起きるわけです。

> 電源からの電流はコイルの直流抵抗によりオームの法則で求められる値に
> なるのであれば、直流抵抗による電流は電源電圧と同相になりますので
> 逆起電力の電流との差はどうなるのか
直流抵抗やオームの法則はとりあえず無関係です。

長くなってしまいましたね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました

ポンプの例え非常によくわかりました。
インダクタンスの内部の動きが目にみえるようです。

おかげで 当初からの 2π や π/2の電流の遅れ
が理解できました。

皆さんからの回答をいただき改めて数学の必要性を
痛感しております。
微積や三角関数、複素数を更に学習していきます。

何回も本当にありがとうございました。

お礼日時:2010/08/19 21:59

No.2の者です


ご丁寧なお礼コメントありがとうございます。

批判を覚悟の上でものすごく荒っぽいコメントをさせて頂きます。

電気に直流と交流がありますが、抵抗には種類と成分があり、それらを表現上インピーダンスとか抵抗と言っているだけで抵抗の定義は“電流の流れにくさ”です。
その抵抗成分を直流・交流に分けて説明しようとしたときに必然的に生まれてきたのがインピーダンスの概念です。
単純に抵抗と呼ばれるもの、コイル(L)、コンデンサ(C)、そして半導体等の素子においてその特徴を説明するための便宜上の言葉だと理解すると実際の電子回路等の読み方も変ると思うのですが・・・

2πに関して理解するには、まず記号として覚えること。そしてその意味を理解するにはその性質を理解すること(これがなかなか難しいですよね)

私の場合、位相とそれに関わる素子(R,L,C)の影響から勉強したのですが、人それぞれ様々なアプローチ方法があると思いますので、回路設計・素子研究・数学など面白いと思うことから手をつけていけば楽しく勉強できると思います。

えらそうなことを長々と申し訳ありませんが、何かの足しになれば幸いです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
私は数学と電気工学を平行して学習を進めていますが
どちらも非常に難しいですね。
長く楽しめる(勉強できる)のは間違いないようです。

お礼日時:2010/08/16 22:21

順番が逆なんですよね.基本的にコンデンサやコイルの電流と電圧の関係は微分と積分なんです(なんで微分や積分になるんだよ!・・っていうのはQ=CVとかLI=Vtとかいう基本式から導けます).ですから毎度毎度微積分で一生懸命計算しても良いんですがやっぱり任意の波形をいきなり考えるのは面倒くさい(笑)



基本的に何を与えたっていいわけですけど,とりあえず「微分積分で好都合といえば三角関数でしょう」=>やっぱり正弦波が基本でしょう!!・・ということで,ためしに正弦波・・
sin(2πf・t):tは時刻
なんていう電圧与えてみたら電流はどうなるの?っていうことを考えてみたというのが出発点ですね.sinの中身の角度の単位はもちろんラジアンです.
で,やってみたらこんな結果になって,インピーダンスを計算してみたらこうなったよ・・っていうことです.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

1年半ほど前から微積や三角関数や複素数の勉強(40年ぶりの復習)をしています。
とはいってもまだ基礎の段階ですので理解が追いつきません。

そうとう時間がかかると思いますが頑張っていきます。

お礼日時:2010/08/15 21:17

次のサイトに電気の基礎知識等の解説記事がありますので参考になると思われます。



http://www.jeea.or.jp/index.php
日本電気技術者協会
http://www.jeea.or.jp/course/01.html
音声付き電気技術解説講座 >理論一般
・インダクタンス物語(1)電磁誘導とはどんな現象か
・インダクタンス物語(2)インダクタンスとは何か


http://www.geocities.jp/hiroyuki0620785/index.htm
電気の歴史イラスト館

http://www.ichinoseki.ac.jp/soudan/study.html
高専における学習参考情報  理科、物理等 
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この回答へのお礼

いろいろなホームページの紹介ありがとうございました。
早速 「お気に入り」 に登録しました。
自分なりに理解できるHPをみつけたいと思います。

またこういうのは画面をみているだけではダメですね・・・
少なくともポイントはノートに書き写さないと、この歳に
なるとなかなか頭にはいりません。

お礼日時:2010/08/15 12:25

No.1、No.3です。



> こんなことを言い出すときりがないかもしれませんが
いえ、私は自分が納得できるかあるいはギブアップするレベルまで追求する方が好きですね。

> コイルに交流を加えると、レンツの法則による電源とは逆方向の
> 磁界の変化を妨げる向きの自己誘導起電力がおきますが, これが
> 抵抗作用を示すと考えたらよいのでしょうか?
抵抗作用というとRと紛らわしいのでリアクタンス(あるいはインピーダンス)と言い換えれば
まったくその通りです。
前に書いたe=-L・di/dtはまさにそれをあらわしています。
この場合eは特に逆起電力といいますが。
これがなかなか理解されにくいのですが外部から与えた電源電圧と逆起電力が釣り合うところまで
電流が増え続け、イコールになれば電流が安定するのです。
I=E/Rはその結果であって式だけ丸暗記している人には逆起電力は理解できません。

> 不思議におもうのは 角周波数(2πf)とインダクタンス
> やキャパシタンスなど、それぞれの能力?でリアクタンス
> が求められるということです。
> 簡単な計算式で交流がコイル或いはコンデンサに与える抵抗が出る
> のは自然界がうまく単純にできているとしか思えません。
もっともな疑問です。実は交流の基本が正弦波であり、di/dtという簡単な式で
電流と電圧の関係が決まるということがその答えです。
正弦波は微分していくと sin→cos→-sin→-cos→sin という回転ベクトルと見ることができます。
どこまで行っても正弦波(の仲間)なのです。
一方回転運動を横から見ると往復運動に見えます。

例えですが関門海峡の海水は干潮が2回、満潮が2回で1日に4回潮の流れが反転します。
これは概ね月の引力で起こります。
月は地球から見て回転しているように見えるのですが実は地球が回転しています。
日本から見て月が天頂付近と地球の真裏付近の2回が満潮です。
これは潮の流れを正弦波ベクトルと見ると1日に2回転していることになります。
流速だけ見ると1日2回の往復運動ですね。

回転運動と見るときは平面ですので実数軸、虚数軸を使ってあらわすのが一般的です。
往復運動と見るときは直線運動ですから実数軸(普通はY軸)だけです。

> 1KHzの角周波数は、これは単位円で考えた場合基準点から
> 6280 円周上を移動したことになりますが、この移動距離
> にインダクタンスを掛けるとリアクタンスが計算できること
> になります。
これも粗っぽい説明になりますがLという錘を6280m引きずったと
考えればどうでしょうか。
この積が大きいほど引っ張るのが難しくなるのは容易に想像できますね。
さらに無茶を言えば弾力のある紐で引っ張っていれば引っ張っている人よりも
錘のほうがはるかに遅れてついて来る。
これが電流の遅れる理由に少しは似ているかと。

例えがあるほうがイメージが湧くかと思いましたので、ちょっと無理な説明に
成ったかも知れません。

蛇足ですが、第2種電気主任技術者、第1級陸上無線技術士、第1級アマチュア無線技士を
所持しています。
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この回答へのお礼

ご丁寧な回答を本当にありがとうございます。
おかげで大分わかってきました。

実は私いま62歳でして、1アマを約30年前にとりました。
そのときリアクタンスや共振周波数の計算にでてくる 2π を
不思議には思いましたが結局は教科書のとおり覚えるだけで済ま
せてました。
最近になってなんとか理解したいと思い勉強をしているところです。
数学も独学になりますがいまはインターネットという便利な道具が
ありますので時間はかかりますが頑張っていきます。

ありがとうございました 重ねて御礼申し上げます。

お礼日時:2010/08/14 22:20

電圧eを


e=Asinωt とし
電流をi とすれば
Asinωt=L・di/dt
i=-A/ωL・cosωt
此よりリアクタンスXは
X=e/i=ωL・sinωt/(-cosωt)
ここでsinωtを基準にすると-cosωtは-jになる。
リアクタンスXは
X=ωL/(-j)=jωL となる。 ω=2πf
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

申し訳ありませんがあまり理解できません。

三角関数と微分の知識が不足しています。
以前も類似の質問をして回答者の方から微積の
理解を指摘され高校の教科書などで勉強して
ますがまだまだのようです。
じっくりと取り組んでいきます。

お礼日時:2010/08/14 18:49

お礼をありがとうございます。


若干補足します。

> π(ラジアン)=57.32°
1ラジアンですね。

> よく π とか 2π とあらわすのはその後の計算を
> しやすいようにか或いは数字よりもスッキリするか
> 或いは π は無理数だからかもしれませんね。
全部その通りです。
さらに言えば角度を強調しているともいえます。
電気屋は普通にπ/2(=90度)とか使いますから。

リアクタンスのヒントですが
e=-L・di/dt i=Asin(2πft)とすると
e=-L・2πft・Acos(2πft)です。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
私が書いた πラジアン=57.32°は 1ラジアンの
間違いでした。

皆さんからの回答のおかげで理解が進んできました。
こんなことを言い出すときりがないかもしれませんが
不思議におもうのは 角周波数(2πf)とインダクタンス
やキャパシタンスなど、それぞれの能力?でリアクタンス
が求められるということです。

1KHzの角周波数は、これは単位円で考えた場合基準点から
6280 円周上を移動したことになりますが、この移動距離
にインダクタンスを掛けるとリアクタンスが計算できること
になります。

簡単な計算式で交流がコイル或いはコンデンサに与える抵抗が出る
のは自然界がうまく単純にできているとしか思えません。

コイルに交流を加えると、レンツの法則による電源とは逆方向の
磁界の変化を妨げる向きの自己誘導起電力がおきますが, これが
抵抗作用を示すと考えたらよいのでしょうか?

なかなかすっきりと理解できなく、また話たいことと書き順が
一致してなくて申し訳ありません。

お礼日時:2010/08/14 11:18

リアクタンスの計算にででくる 2π の理由がわかりません。



No.1の回答にあったようにラジアンで間違いありません。
そこで電気に関して角度のとらえ方を考えて見ましょう。

電気、もしくは電波の概念からすると角度は位相・周波数・共振等の基礎になります。ラジアンをX-Y軸のグラフで見ると平面のベクトル座標になりますよね。電気的にはX軸を実数軸、Y軸を虚数軸と呼びます。例えば(X=0、Y=0)を中心にしてr(半径)はいくつでも構いませんが円を描いたときにX軸を1として一周して元の座標に返ってくるまでの角度が2πなのです。

数学的に円の一周は360度、という捉え方とは少し違うので違和感があるかもしれませんね。

リアクタンスとは電気の概念ですから、πとは角度という捕らえ方で考えると、少し数式の意味もしっくりくるかもしれません。

最後の周波数とインダクタンスの掛け算の件ですが、これはまさに前述の実数・虚数の問題になってくるのです。リアクタンス・コンダクタンス等、全ての抵抗をベクトルで表現するとその成分ごとに座標で表すことが解りやすく説明しやすいのです。その意味は交流の場合、周波数によって抵抗値が変ることはご存知ですよね?(数式もそうなってます)
周波数とインダクタンスを掛けることは少し理解しにくいかも知れませんが、角度が変ると言うことです。

2πについての質問でしたので角度にこだわりましたが、言葉や記号の意味については様々なアプローチがあります。

参考になれば幸いです。
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この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございました。
電気工学でのラジアンの考え方がよくわかりました。
アマチュア無線の勉強を始めたころからずっと疑問に
思ってましたが解消できた気がします。

お礼日時:2010/08/14 07:58

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