【ZFC】等しく無い集合に就いて【外延性公理】

【ZFC】等しく無い集合に就いて【外延性公理】

外延性公理の定義をネットで調べて診ると、以下の2通りの定義が診受けられます。

∀x ∀y ( ∀z ( z∈x ⇔ z∈y ) ⇒ x=y ) ... (1)

∀x ∀y ( ∀z ( z∈x ⇔ z∈y ) ⇔ x=y ) ... (2)

要するに最後の矢印が、 ⇒ か、 ⇔ かの違いなのですが、上記から、「等しく無い集合」を考えると、途端に ? に成ります。上記 (1) 、 (2) の否定を採るやり方をして診ると(此処で間違っている可能性が有りますが、悪しからず)、

(1)の否定
￢ ( ∀x ∀y ( ∀z ( z∈x ⇔ z∈y ) ⇒ x=y ) ) ≡ ∃x ∃y ( ∃z ( z∈x ⇔ z∈y ) ∧ x≠y ) ← ?

(2)の否定
￢ ( ∀x ∀y ( ∀z ( z∈x ⇔ z∈y ) ⇔ x=y ) ) ≡ ∃x ∃y ( ∃z ( ( ( z∈x ⇔ z∈y ) ∨ x=y ) ∧ ( ￢ ( z∈x ⇔ z∈y ) ∨ ￢ (x=y) ) ) )

と成り、一見すると(2)の方が活路を見出せそうな気分がします。実際に、等しく無い集合を考えた時に、上記の方法で正しいのか、正しく無ければ、どう言うやり方でやるのか、もし上記で正しければ、(2)からどの様に展開して行けば良いのかを御指南して頂ければ幸いです。

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/09/30 10:55

等しくない集合を考えようとして、公理を全否定しているのがおかしいです。

それでは単に成立しない命題が得られるだけです。

この回答への補足

公理＝トートロジー(とする)なので其を否定したら矛盾、ですか。之は失礼しました。

補足日時：2010/10/01 12:06

No.2 回答者： rinkun 回答日時： 2010/09/30 11:03

質問が分かりません。

意図を日本語で説明してください。
なお、外延性公理(2)の逆矢印は、集合論の公理にしなくても一般に一階述語論理の公理から示せる定理でしょう。
# 一般に論理式P(x)について、x=y ⇒ P(x)=P(y)

この回答への補足

(1)が本当の公理で、(2)は定理と言う訳と。

(1),(2)の否定のやり方が出鱈目だと言う事は判りました。そうなると、ZFC的に「等しく無い集合」って、どう記述するの？と言う事なのですが。

∀x ∀y ( ∃z( z/∈x ∨ z/∈y ) ⇒ x≠y )(/∈は属するの否定)
とでも書いて定義するのかと。

「日本語で説明」と言うコメントは「この人は私の言っている事の意図を汲み取る意思が在るのか」と思わざるを得ませんね。自分でもそう思いませんか。

補足日時：2010/10/01 12:25

No.3 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/10/02 12:25

>公理＝トートロジー(とする)なので其を否定したら矛盾、ですか。

違います。
何が得たいのかをはっきりさせることが必要です、補足にどうぞ。

この回答への補足

得たい事は、「等しくない集合を(ZFCで)記述すること」で良いです。ANo.4が回答に成っていると思います。

自分が公理や定理を、どう考えて居るかを説明します。間違った箇所のご指摘願います。

---

ZFCは、空集合のみを扱い、数学は命題のみ(ファジイ命題等を除く)を扱う。

ZFC…空集合のみを扱う
↓
空集合…空集合存在公理にて定義 ∃y ∀x ￢( x ∈ y )
↓
x ∈ y …類公理にて命題と定義 ∃y ∀x ( x ∈ y ⇔ P(x) )

命題…真か偽の何れ(いずれ)かを採り、真理値の決定は変数(命題変数)に依る
恒真命題(トートロジー)…如何なる変数値を採っても、真に成る命題
恒偽命題(矛盾)…如何なる変数値を採っても、偽に成る命題
恒真命題の否定は恒偽命題

公理や定理は、総て命題で在り、公理＝定義で在る。公理や定理は、恒真命題（トートロジー）
で在る事を求められる。

公理…数学に於ける「定義」の中で、重要な物を指し、暫定的に真と約束する命題（だから恒真命題）
定理…定義や公理を基として、命題論理を用いて導かれた恒真命題

---

上記の様に考えて居る為、ANo.1の補足では、
公理＝恒真命題 → 恒真命題(公理)の否定 → 恒偽命題（矛盾）＝成立しない命題
と言う思考回路で在った訳です。

補足日時：2010/10/04 19:54

No.4 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2010/10/02 13:26

> (1)が本当の公理で、(2)は定理と言う訳と。

いえ、どちらを公理としても良いですよ。一階述語論理の上で(1)を公理とすると(2)は定理、(2)を公理とすると(1)は定理というだけで。

それで、質問の意図が等しくない集合を記述することだとすると
　x≠y ⇔ ∃z(((￢(z∈x))∧(z∈y))∨((z∈x)∧(￢(z∈y))))
で良いでしょう。

導出は、外延性公理における
　∀z ( z∈x ⇔ z∈y )
の部分を否定することでできるでしょう。
⇔の否定はそのままだと分かり難いので、⇔を∧、∨、￢に展開してから否定を計算すると導出しやすいと思います。

この回答への補足

見難いですがご勘弁を。

一年間ずっとしこりが残って居ましたが、之で何とか決着が着けられればと思っています。間違いが在れば其の時は宜しく御願します。

Ext : ∀X_0, X_1 ( ∀x ( x∈X_0 ⇔ x∈X_1 ) ⇔ X_0＝X_1 ) (外延性公理)

⇔ ∀X_0, X_1 ( ∀x ( ( x∈X_0 ⇒ x∈X_1 ) ∧ ( x∈X_1 ⇒ x∈X_0 ) ) ⇔ X_0＝X_1 ) ( ∵ EqivImpRelation )

⇔ ∀X_0, X_1 ( ∀x ( (￢( x∈X_0 ) ∨ x∈X_1 ) ∧ ( ￢( x∈X_1 ) ∨ x∈X_0 ) ) ⇔ X_0＝X_1 ) ( ∵ De Morgan )

⇔ ∀X_0, X_1 ( ∀x ( (￢( x∈X_0 ) ∨ x∈X_1 ) ∧ ( x∈X_0 ∨ ￢( x∈X_1 ) ) ) ⇔ X_0＝X_1 ) ( ∵ Kommutativitet )

此処で、「等しく無い集合」を定義するには、最初の量化子を通り越して、同値命題の十分条件、必要条件に否定を施す。

⇒ ∀X_0, X_1 ( ￢( ∀x ( (￢( x∈X_0 ) ∨ x∈X_1 ) ∧ ( x∈X_0 ∨ ￢( x∈X_1 ) ) ) ) ⇔ ￢( X_0＝X_1 ) )

⇔ ∀X_0, X_1 ( ∃x ￢( (￢( x∈X_0 ) ∨ x∈X_1 ) ∧ ( x∈X_0 ∨ ￢( x∈X_1 ) ) ) ⇔ ￢( X_0＝X_1 ) ) ( ∵ QuantificationInvert )

⇔ ∀X_0, X_1 ( ∃x ( ￢(￢( x∈X_0 ) ∨ x∈X_1 ) ∨ ￢( x∈X_0 ∨ ￢( x∈X_1 ) ) ) ⇔ ￢( X_0＝X_1 ) ) ( ∵ De Morgan )

⇔ ∀X_0, X_1 ( ∃x ( x∈X_0 ∧ ￢( x∈X_1 ) ) ∨ ( ￢( x∈X_0 ) ∧ x∈X_1 ) ⇔ ￢( X_0＝X_1 ) ) ( ∵ De Morgan )

∴⇔ ∀X_0, X_1 ( ∃x ( ￢( x∈X_0 ) ∧ x∈X_1 ) ∨ ( x∈X_0 ∧ ￢( x∈X_1 ) ) ⇔ ￢( X_0＝X_1 ) ) ( ∵ Kommutativitet )

同値命題の必要条件、 ￢( X_0＝X_1 ) を X_0≠X_1 と表す。

之で集合演算の否定の導出方法が確立した(同じ様にやれば出る！)と思います。異議が無ければ之で此の質問は締め切らせて貰います。

補足日時：2011/11/23 16:02

この回答へのお礼

ご回答有難う御座います。

>公理を全否定しているのがおかしい…(ANo.1)

￢ ( ∀x ∀y ( ∀z ( z∈x ⇔ z∈y ) ⇒ x=y ) )

の様に、全否定では無く、外延性公理で「＝」を定義した様に、「≠」も、以下の様に定義する、と言う考えで宜しいでしょうか。

∀x ∀y ( ￢ (∀z ( z∈x ⇔ z∈y ) ) ⇒ x≠y )

上式は、公理か定義か訊かれたら、公理では無く定義で在る、と言う事ですか。

お礼日時：2010/10/04 19:56