lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e を用いて

lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e　　を用いて
lim(x→0) (1-cos2x)/(xlog(1+x))をもとめよという問題なんですが
どうやるんですか？

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/10/10 18:49

こんばんわ。

あるところの変形がわかると、そこから「ドミノ倒し」のように変形ができていきます。

で、その最初の変形ですが、
cos(2x)を変形してみてください。
分母に xがあるので、次にそこへつながるような変形が必要です。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/10/10 18:50

lim(x→0) (1-cos2x)/(xlog(1+x))

=lim(x→0) (1-cos2x)/((x^2)(1/x)log(1+x))
=lim(x→0) ((1-cos2x)/x^2)*lim(x→0)((1/x)log(1+x))^(-1)
=lim(x→0) ((1-cos2x)'/(x^2)')*lim(x→0)(log((1+x)^(1/x)))^(-1)

ロピタルの定理と「lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e」を用いて

=lim(x→0) ((-2sin2x)/(2x))*(log(e))^(-1)

さらにロピタルの定理を用いて
=lim(x→0) ((-4cos2x)/2)*1
=-2

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/10/10 19:14

#1です。

「ロピタルの定理」は、高校数学では断りがない限り禁じ手だと思いますし、そこまでしなくとも素直に変形で・・・

・cos(2x)を変形して、分子を整理します。

・(三角関数)/xというよく見る形が出てきます。
この形に合うように、分子の変形を考えてください。

・ただし、(三角関数)/xの変形には「何かが少し足りない」ので、補う必要があります。

・その補った分のツケが、最後に「肩」へ乗っかります。

ちなみに、答えは「正」の数になりますね。＾＾

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/10/10 20:26

まいど。

執拗にロピタルを使う人がいるので、
執拗に級数展開も紹介してみますか。

cos z の 3 次マクローリン展開
cos z = 1 - (1/2)z^2 + Rc(z),　lim[z→0] Rc(z) / z^3 = 0
と、

log z の z = 1 における 1 次テーラー展開
log(1 + x) = x - (1/2)x^2 + Rl(x),　lim[x→0] Rl(x) / x = 0
とより、

(1 - cos 2x) / (x log(1 + x))
= { (1/2)(2x)^2 - Rc(2x) } / { x^2 - (1/2)x^3 + x Rl(x) }
= { 2 - x・(Rc(2x) / x^3) } / { 1 - (1/2)x + (Rl(x) / x) }　　; 分子分母 x^2 で割る
→ { 2 - 0・0 } / { 1 - 0 + 0 }　　　　　　　　　　　　　　　 ; when x→0
= +2.

No.5 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/10/11 16:33

#2です。

凡ミスを訂正します。
>=lim(x→0) ((-2sin2x)/(2x))*(log(e))^(-1)
正：=lim(x→0) ((2sin2x)/(2x))*(log(e))^(-1)

>さらにロピタルの定理を用いて
>=lim(x→0) ((-4cos2x)/2)*1
正：=lim(x→0) ((4cos2x)/2)*1

>=-2
正：=2

失礼しました。

[別解] ロピタルの定理を使わない方法なら

>lim(x→0) (1-cos(2x))/(xlog(1+x))

倍角公式をsin^2(x)=(1/2)(1-cos(2x))を逆に使って

=lim(x→0) 2(sin^2(x))/(xlog(1+x))
=lim(x→0) 2(sin(x))/x)^2*(x/log(1+x))
=lim(x→0) 2(sin(x))/x)^2*lim(x→0)(x/log(1+x))
=2*(1^2)*lim(x→0) 1/(log(1*x)^(1/x))

lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e　　を用いて

=2*1/log(e)
=2*1/1
=2