x→+0のとき、(-2log x)/xの値

x→+0のとき、(-2log x)/xの値を問題を解く上で求めないといけないのですが
∞/∞とか0/0にならないのでロピタルの定理も使えなくて、困っています

どうやら、∞になるらしいのですが、何故なのでしょうか？教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： Trick--o-- 回答日時： 2011/02/20 11:34

x → +0 のとき log(x) は -∞ なので -2log(x) は …… (1)

x → +0 のとき 1/x は …… (2)

x → a のとき f(x) が α、 g(x) が β に収束するとき、f(x)g(x) は αβ に収束する

以上から、
x → +0 の とき (-2log(x))/x は ……


かな？
logの底が1より大きいときね。１０かeだろうけど。

No.5 回答者： R_Earl 回答日時： 2011/02/22 01:16

ANo.4の方へ

「0 < x < eでf'(x) < 0」という情報だけでは、
0 < x < eにおいてy = f(x)がどのようなグラフになるかは
分からないのではないでしょうか。
「0 < x < eの範囲でxが減るとf(x)が増える」という事は分かりますが、
f(x)が「ある一定値に向けて増え続ける」のか、
それとも「無限に増え続ける」のかは分からないはずです。

一定値に向かって増え続ける例としては、
f(x) = -xという関数が考えられます。0 < x < 1でf'(x) < 0です。
でもx → +0でf(x) → 0ですよね。

あとはy = x^xもそうです。これは0 < x < 1/eで常にf'(x) < 0が成り立ちます。
なので0 < x < 1/eの範囲内でxを減らすとf(x)の値は増加するのですが、
x → 0の時、f(x) → 1となります。
これはf(x)が1に向かって増え続ける例です。

No.4 回答者： mmegganne 回答日時： 2011/02/20 15:47

f(x)=(-2log x)/xとおく。

微分すると、
f'(x)=(-2logx)'/x+(-2logx)*(1/x)'
=-2/x^2+2logx/x^2
=(-2+2logx)/x^2

f'(x)<0⇔(-2+2logx)/x^2<0
⇔(-2+2logx)<0
⇔ 1>logx
⇔ 0<x<e
f'(x)=0⇔x=e
f'(x)>0⇔x>e
　　　　　がわかります。

これでy=f(x)のグラフの形が分かりましたね。
グラフから、x→+0で∞に発散していることがわかります。

(連続)関数の極限では、実際にグラフを書くのも有効な方法です。

No.3 回答者： R_Earl 回答日時： 2011/02/20 15:14

もう一度基本に立ち返ってみて下さい。

少し難しく考えているような気がします。

x → +0は「xを右側からどんどん0に近づける」ですよね。
なのでxに代入する数をどんどん0に近づけながら(-2log x)/xの値を考えてみましょう。
例えば

x = 1の時、(-2log x)/x = 0 / 1
x = 1/eの時、(-2log x)/x = 2 / (1/e)
x = 1/e^2の時、(-2log x)/x = 4 / (1/e^2)
x = 1/e^10の時、(-2log x)/x = 20 / (1/e^10)
・
・
・

xが右側から0に近づくと、分子がどんどん大きくなって、
分母がどんどん小さくなります。
分子が大きくなって分母が小さくなると、
分数全体の値としてはどうなるでしょうか？
それを考えるとx → +0の時、(-2log x)/x → ∞となる事が分かると思います。

> ∞/∞とか0/0にならないのでロピタルの定理も使えなくて、困っています

分子の極限と分母の極限が分かっているのにロピタルの定理が使えない場合、
それは逆に「ロピタルの定理を使わなくてもすぐに極限が分かる」ようになっているはずです。

例えばですが、x → ∞を考えた時に∞/(+0)となる場合、
この極限は「無限大に発散する」となります。
これは「分子が大きくなって分母が小さくなると、分数全体の値はどうなるか？」
という事を考えれば、ある意味「当たり前」に感じませんか？

同様に(+0)/∞となる場合、この極限は「0に収束」となります。
これは先ほどのように、
「分母が大きくなって分子が小さくなると、分数全体の値はどうなるか？」
という事を考えればよいです。

No.2 回答者： WiredLogic 回答日時： 2011/02/20 12:48

考え方は、#1の方の回答の感じで、構わないのですが…

発散する話なので、「x → a のとき f(x) が α、 g(x) が β に収束するとき、f(x)g(x) は αβ に収束する」と、記述の答案に書いたりしてはいけません。

「∞/∞とか0/0にならないのでロピタルの定理も使えなくて、困っています」と書いておられますが、話は逆。

「∞/∞とか0/0にならない」なら、例えば、普通に計算できるものや、素朴に代入？して、∞+∞,∞*∞,0±0,0*0 なら、悩まずに答が出ます。(この問題の場合は、∞/0 = ∞*∞、ただ、代入に？を付けましたが、極限値は本来代入しちゃいけないものなので、自分でこっそり代入モドキをするのは、問題ありませんが、記述の答案で、代入して、とか書くと、減点あります。発散する場合はもっと)

それに対し、「∞/∞とか0/0にな」れば(∞-∞なども)、不定形と言って、そのままでは、発散するのか、収束するのかも解らない形、極限の状態を調べるには、約分や有理化モドキ、などなどの工夫が必要になる、その工夫の一つとして、大学生なら、ロピタルの定理の利用がある、という具合に考えてください。質問者さんが高校生なら、ロピタルの定理を使っていいかどうかには、議論もありますし、大抵は使わない解法があるので、最後の切り札くらいに考えておくのが、無難かもしれません。