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初質問となります。よろしくお願いします。
私は今年から大学生で、理系の道を歩んでいる最中のものです。

最近行った物理実験にて、自分の不器用さ故、マイクロメーターで5回同じものの長さを測定した結果、

1~5回の平均の長さ…3.244mm
実験の平均標準偏差(を求める一歩手前)…0.151mm

になってしまいました。(5回ともかなりばらばらな値をとってしまったのに気付かずに実験を終えてしまいました。)
基本的に、標準偏差は1~2ケタで表すということですが、こんなに標準偏差が大きかった場合、この不確かさはどのように表現すればよいのでしょうか。

この実験に関してレポートを書くのですが、このデータのおかげで初手で手詰まりとなりました。
レポートを書くときの指定として、0.001mm単位まで書かなくてはいけないのですが、

例)3.244±0.003mm

のようにならず、うまい具合に桁を合わせることができません。

どうすればよいか教えてください。(実験のやり直し以外でお願いします(汗))

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A 回答 (6件)

>基本的に、標準偏差は1~2ケタで表すということですが



1さんには申し訳ないですが、有効数字は誤差を含む最初の桁までを意味します。5回程度の実験では標準偏差の最初の桁が「誤差を含む最初の桁」になるので、1桁書けば充分です。ただし、0.014など、最初の数字が1の場合などは、丸めの影響が大きくなりすぎるので、2桁表記します。(どこまで2桁にするかは判断が分かれる。)

測定回数がもっと膨大な数になった場合には、標準偏差そのものがどこまで有効かを評価した上で桁素を増やすこともあります。が、それはかなり例外的な事例と思ってください。事実として、理科年表という本がありますが、この中に掲載されている物理定数の測定値の標準偏差の表記はほとんどが2桁表記で例外的に3桁がある程度です。有効数字を10桁ほども持っている最大級に精密な測定でもこの程度ですから、5回程度の学生実験で3桁、4桁と標準偏差をずらずら書くのはナンセンスです。

なので、

>1~5回の平均の長さ…3.244mm
>実験の平均標準偏差(を求める一歩手前)…0.151mm

この数字をそのまま使って表記するなら標準偏差の下の桁に合わせて

3.24±0.15 mm

となります。データが荒れた実験をしてしまったという事実はくつがえせないので、しょうがありません。

何の制約もない場合はこれでいいのですが、問題は

>レポートを書くときの指定として、0.001mm単位まで書かなくてはいけないのですが、

という指定を採点者がどう評価するかで、それはその人次第なので一般論ではわかりません。
なので、注釈をつけて

『標準偏差を2桁で表記して

3.24±0.15 mm

指導書の0.001mmまでという指定にしたがって

3.244±0.151 mm』

のように併記しておくのが無難かと思います。

結果的に再実験の指示がくるかもしれませんが・・・・
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

詳しく説明していただいて、とてもわかりやすくて感動しました。

以後、測定には気をつけたいと思います。

お礼日時:2011/07/04 15:58

これまたNo.4様のおっしゃるとおり。


私は工業従事者でしたので、全数検査での標準偏差というものを仕事で用いたことがないため、うっかりしました。(全数検査では基本的に、良か不良かだけを判断する。)

ただし、No.3については、どの範囲を超えたときに異常と見なすかどうかは、測定装置の分解能から来る有効数字を目一杯かそれ近くにすることはあります。
会社内部の製造管理では「行儀の良くない」数値表記(桁が多い)を使うことがあります。

あるいは、標準偏差のお尻を平均値のお尻より1桁下にした例も見たこともあります。多くはないですが。
今回の例で言うと、仮に 3.2±0.2 とした場合、2σは 0.4 になってしまいますが、本当は 0.3 になりますから、そういう意味なのだと思います。

ちなみに、このQ&Aサイトは他の回答者に回答する場ではなく、質問者に回答する場です。
私としても質問者以外の人から呼ばれても困ります。
これについては、No.5様がよくご存知です。
いつの間にか回答者どうしでの戦争になって質問者が引いてしまったパターンを、何年もから数々見てきています。

この回答への補足

レポートの採点結果などが来たら、改めて報告したいと思います。

(どうでもいいですね…ごめんなさい)

補足日時:2011/07/04 16:10
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この回答へのお礼

そうですね…
回答者同士の討論になるとは思ってもいませんでした。(;一_一)

しかし、皆さんの意見はとても参考になります。

また、話し合えば話し合うほど、質問する側としても、一緒に考えることができ、かなり自分の身のためになると実感しました。

今回の実験に関しては、自分の犯した失敗として自分の経験の中に刻み込んでおきたいと思います。

以後気をつけます。

何度も回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/07/04 16:08

私もhitokotonusiさんの回答No2に賛成ですね。



大事なのは,「標準偏差の下の桁に合わせて」という点。
だから,ひとつだけ書くとしたら
3.24±0.15 mm
が良いでしょう。

誤差が大きくなれば,平均値の桁を増やしても意味がないからです。

>結果的に再実験の指示がくるかもしれませんが・・・・
私が採点したら,やはり,そう言うでしょう。

>レポートを書くときの指定として、0.001mm単位まで書かなくてはいけないのですが、
ということは,そこまで慎重に,あるいは,何度もやってその程度まで出してほしい,という意味でしょう。

どのくらい精密測定するか測定前に決まってることだろうから,それは当然の要求です。

レポートを書くときの指定,というより,測定結果を出すときの指定,と言ったほうが良いくらいです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

とても参考になりました。

測定には十分注意しながら以後実験をしていきたいと思います。

お礼日時:2011/07/04 16:02

#3さんへ



>センター試験は受験者の数が非常に多いので、

そういう問題ではないです。試験の点は測定値ではなく誤差を含みません。
この場合、どういう計算をしようとも理屈の上では有効桁数は無限です。
(現実には使っている計算機のマシンεが有効桁数を決めますが。)


>私は「平均標準偏差」という用語は知りません。

推測するに、平均値の標準偏差(の推定値)で、

σ = √[ Σ(xi-<x>)^2/n(n-1) ]

のことでしょう。一歩手前が何をさすのかはわかりませんが。

推測はできますが、質問者さんに定義を明確にしてもらわないと答えようがないです。

この回答への補足

No.4さんのおっしゃる通りです。
説明不足でした。

σ = √[ Σ(xi-<x>)^2/n(n-1) ]
を求めて、どこで四捨五入すべきか悩んだので、σを小数点第3ケタまで求めたものを、「一歩手前」で表現しました。




再実験というものが今回に限って存在しないため、そのままレポートを提出する次第になりました。

結局小数点以下三ケタで示すことにしました。

来週あたりに採点者からのコメントが返ってくると思います。

以後実験をするときはしっかり気をつけてやりたいと思います。

回答者の皆様に多大な迷惑を被ってしまったことを深くお詫び申し上げます。

そして回答ありがとうございました。

補足日時:2011/07/04 15:54
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No.1の回答者です。



まあ、No.2さんが言われていることが妥当ですね。
センター試験は受験者の数が非常に多いので、標準偏差を4桁取るのも意味はありますが、
本件は、5つですからね。

>>>
すいません、少し混乱してしまったのですが、
提示してくださった標準偏差と、私が悩んでいる実験による平均標準偏差は、実質的に同じような意味を指すのでしょうか。

「1~5回」と書かれていましたので、「標準偏差」を「平均標準偏差」に書き間違えていると解釈していました。
私は「平均標準偏差」という用語は知りません。

>>>
実験では、
例 3.244±0.151mmとしてよいということですよね。

はい。
ですが、No.2様がおっしゃるように丸めてから後ろをそろえるのが妥当です。

>>>
提示してくださった例では、一番上に記載されている国語の場合、
111.29±33.10点
となるのでしょうか。

「誤差は1σを表す」と但し書きをした上で、111.29±33.10点 と書きます。
あるいは、
「誤差は2σを表す」と但し書きをした上で、111.29±66.20点 と書きます。
あるいは、
「誤差は3σを表す」と但し書きをした上で、111.29±99.30点 と書きます。

σ(シグマ)は標準偏差のことです。

>>>
昔高校では、このような成績などの標準偏差は、どれくらいばらつきがあったかを示す値であるというように習っていたので、±云々 という話ではないと思ったのですが…
また、111.29±33.10点としていい場合、この値は何を示しているのでしょうか?

平均±1σ の範囲には、全体の約68%が入ります。
平均±2σ の範囲には、全体の約95%が入ります。
平均±3σ の範囲には、全体の約99.7%が入ります。

学力に関しては、
平均+3σ ⇒ 偏差値80
平均+2σ ⇒ 偏差値70
平均+1σ ⇒ 偏差値60
平均 ⇒ 偏差値50
平均-1σ ⇒ 偏差値40
平均-2σ ⇒ 偏差値30
平均-3σ ⇒ 偏差値20
と表します。
たとえば、偏差値40~60 の範囲には、受験者全体の約68%が入ります。
たとえば、偏差値70の人より上には、受験者全体の2%強しかいません。

たぶん、高校数学の教科書の巻末に正規分布表があると思いますが、それを使うと以上のようなことがわかります。
http://www.biwako.shiga-u.ac.jp/sensei/mnaka/ut/ …
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こんにちは。



>>>レポートを書くときの指定として、0.001mm単位まで書かなくてはいけないのですが、

それが正しいです。
有効数字うんぬんではなく、平均と標準偏差は後ろをそろえなくてはいけません。
ですから、平均が小数第3位までなので、標準偏差も小数第3位まででなくてはいけません。
つまり、そのままでよいということです。
そのままでないと、恣意性が働いたごまかしデータになってしまいます。

>>>基本的に、標準偏差は1~2ケタで表すということですが

私は工業に長く携わっていましたが、そんな決まりは聞いたことがありませんよ。
標準偏差の値は品質管理の重要な指標なので、桁を縮めることによって捨てる必要のない情報を捨てるのは、もってのほかなんです。

安心してください。
標準偏差が4桁書かれている有名な実例をお見せします。
http://www.dnc.ac.jp/modules/news/content0434.html

この回答への補足

速急な回答にとても感謝しています。
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
すいません、少し混乱してしまったのですが、
提示してくださった標準偏差と、私が悩んでいる実験による平均標準偏差は、実質的に同じような意味を指すのでしょうか。

実験では、
例 3.244±0.151mmとしてよいということですよね。

提示してくださった例では、一番上に記載されている国語の場合、
111.29±33.10点
となるのでしょうか。
昔高校では、このような成績などの標準偏差は、どれくらいばらつきがあったかを示す値であるというように習っていたので、±云々 という話ではないと思ったのですが…
また、111.29±33.10点としていい場合、この値は何を示しているのでしょうか?

文章が拙くて申し訳ないですが、返答していただけるとありがたいです。

補足日時:2011/07/02 09:10
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

そして、このような私的な質問をしてしまい、申し訳ありませんでした。

お礼日時:2011/07/04 15:57

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私の考えでは、平均値-標準偏差~平均値+標準偏差の範囲は測定値のばらつきがこの範囲に68.3パーセントを占める。

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平均値-標準誤差~平均値+標準誤差の範囲の意味は平均値のありそうな幅の推定でこの範囲に68,3パーセントを占める

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ということは、その集団のデータのばらつきが大きいということです。

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仮に平均年齢が同じ30歳で、標準偏差が1の集団の場合、その集団には
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中にいる(同じ確率では10~50歳になります)ということです。

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・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
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補足:
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★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
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・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
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1.合計を求める
2.合計を個数で割る
ですよね。

このとき、1で求まった合計の有効数字が何桁かが、そのまま平均値の有効数字の桁数になります。
そして、標準偏差の有効数字は、桁数ではなく、平均値の最も下の位(十の位とか小数第3位とか)で決まります。

例を挙げますと、
10.00
10.11
10.22
10.33
9.652
という5個のデータがあるとしましょう。
単純合計は、50.312 ですが、最後の1個以外のデータの精度は小数第2位までしかありませんので、合計は、50.31です。
つまり、合計の有効数字の桁数も平均値の有効数字の桁数も上から4桁です。

合計を5で割れば平均値です。
50.31 ÷ 5 = 10.062 → 有効数字4桁なので、10.06

標準偏差(母集団の標準偏差の推定値)は、0.260305・・・ですが、
平均値の精度が小数第2位なので、0.26 です。

よって、この例では、平均値±標準偏差 は、
10.06 ± 0.26
となります。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

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10.00
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最低値:11.00
平均値:22.56
標準偏差:5.261
標準誤差:0.679(5.261/√60)
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であり,一般に真値は分からないので誤差は分からないことになります.
また何の誤差をお知りになりたいのかも不明です.上のデータが何をあらわしてるのかは不明ですが,
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一方60個の別のものを測定したとすれば,母集団の平均の推定値は母集団の平均値であり,標準偏差は60個のものの分布を表していることとなり,誤差という話はあまり出てきません.(無理に言えば,製造の誤差と言えなくもありませんが)

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もしかして、V(i+1)-V(i)ではなく、pH(i+1)-pH(i)なのでは?
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