物理実験-実験の平均標準偏差-

Question

初質問となります。よろしくお願いします。
私は今年から大学生で、理系の道を歩んでいる最中のものです。

最近行った物理実験にて、自分の不器用さ故、マイクロメーターで5回同じものの長さを測定した結果、

1~5回の平均の長さ…3.244mm
実験の平均標準偏差（を求める一歩手前）…0.151mm

になってしまいました。（5回ともかなりばらばらな値をとってしまったのに気付かずに実験を終えてしまいました。）
基本的に、標準偏差は1~2ケタで表すということですが、こんなに標準偏差が大きかった場合、この不確かさはどのように表現すればよいのでしょうか。

この実験に関してレポートを書くのですが、このデータのおかげで初手で手詰まりとなりました。
レポートを書くときの指定として、0.001mm単位まで書かなくてはいけないのですが、

例）3.244±0.003mm

のようにならず、うまい具合に桁を合わせることができません。

どうすればよいか教えてください。（実験のやり直し以外でお願いします（汗））

hitokotonusi · Accepted Answer

＞基本的に、標準偏差は1~2ケタで表すということですが

1さんには申し訳ないですが、有効数字は誤差を含む最初の桁までを意味します。５回程度の実験では標準偏差の最初の桁が「誤差を含む最初の桁」になるので、1桁書けば充分です。ただし、0.014など、最初の数字が1の場合などは、丸めの影響が大きくなりすぎるので、2桁表記します。(どこまで２桁にするかは判断が分かれる。)

測定回数がもっと膨大な数になった場合には、標準偏差そのものがどこまで有効かを評価した上で桁素を増やすこともあります。が、それはかなり例外的な事例と思ってください。事実として、理科年表という本がありますが、この中に掲載されている物理定数の測定値の標準偏差の表記はほとんどが2桁表記で例外的に3桁がある程度です。有効数字を10桁ほども持っている最大級に精密な測定でもこの程度ですから、5回程度の学生実験で3桁、4桁と標準偏差をずらずら書くのはナンセンスです。

なので、

＞1~5回の平均の長さ…3.244mm
＞実験の平均標準偏差（を求める一歩手前）…0.151mm

この数字をそのまま使って表記するなら標準偏差の下の桁に合わせて

3.24±0.15 mm

となります。データが荒れた実験をしてしまったという事実はくつがえせないので、しょうがありません。

何の制約もない場合はこれでいいのですが、問題は

＞レポートを書くときの指定として、0.001mm単位まで書かなくてはいけないのですが、

という指定を採点者がどう評価するかで、それはその人次第なので一般論ではわかりません。
なので、注釈をつけて

『標準偏差を２桁で表記して

3.24±0.15 mm

指導書の0.001mmまでという指定にしたがって

3.244±0.151 mm』

のように併記しておくのが無難かと思います。

結果的に再実験の指示がくるかもしれませんが・・・・

sanori · Answer

これまたＮｏ．４様のおっしゃるとおり。
私は工業従事者でしたので、全数検査での標準偏差というものを仕事で用いたことがないため、うっかりしました。（全数検査では基本的に、良か不良かだけを判断する。）

ただし、Ｎｏ．３については、どの範囲を超えたときに異常と見なすかどうかは、測定装置の分解能から来る有効数字を目一杯かそれ近くにすることはあります。
会社内部の製造管理では「行儀の良くない」数値表記（桁が多い）を使うことがあります。

あるいは、標準偏差のお尻を平均値のお尻より１桁下にした例も見たこともあります。多くはないですが。
今回の例で言うと、仮に　３．２±０．２　とした場合、２σは　０．４　になってしまいますが、本当は　０．３　になりますから、そういう意味なのだと思います。

ちなみに、このＱ＆Ａサイトは他の回答者に回答する場ではなく、質問者に回答する場です。
私としても質問者以外の人から呼ばれても困ります。
これについては、Ｎｏ．５様がよくご存知です。
いつの間にか回答者どうしでの戦争になって質問者が引いてしまったパターンを、何年もから数々見てきています。

Iguchi_Y · Answer

私もhitokotonusiさんの回答No2に賛成ですね。

大事なのは，「標準偏差の下の桁に合わせて」という点。
だから，ひとつだけ書くとしたら
3.24±0.15 mm
が良いでしょう。

誤差が大きくなれば，平均値の桁を増やしても意味がないからです。

＞結果的に再実験の指示がくるかもしれませんが・・・・
私が採点したら，やはり，そう言うでしょう。

＞レポートを書くときの指定として、0.001mm単位まで書かなくてはいけないのですが、
ということは，そこまで慎重に，あるいは，何度もやってその程度まで出してほしい，という意味でしょう。

どのくらい精密測定するか測定前に決まってることだろうから，それは当然の要求です。

レポートを書くときの指定，というより，測定結果を出すときの指定，と言ったほうが良いくらいです。

hitokotonusi · Answer

#3さんへ

＞センター試験は受験者の数が非常に多いので、

そういう問題ではないです。試験の点は測定値ではなく誤差を含みません。
この場合、どういう計算をしようとも理屈の上では有効桁数は無限です。
(現実には使っている計算機のマシンεが有効桁数を決めますが。)

＞私は「平均標準偏差」という用語は知りません。

推測するに、平均値の標準偏差(の推定値)で、

σ = √[ Σ(xi-<x>)^2/n(n-1) ]

のことでしょう。一歩手前が何をさすのかはわかりませんが。

推測はできますが、質問者さんに定義を明確にしてもらわないと答えようがないです。

sanori · Answer

Ｎｏ．１の回答者です。

まあ、Ｎｏ．２さんが言われていることが妥当ですね。
センター試験は受験者の数が非常に多いので、標準偏差を４桁取るのも意味はありますが、
本件は、５つですからね。

＞＞＞
すいません、少し混乱してしまったのですが、
提示してくださった標準偏差と、私が悩んでいる実験による平均標準偏差は、実質的に同じような意味を指すのでしょうか。

「１～５回」と書かれていましたので、「標準偏差」を「平均標準偏差」に書き間違えていると解釈していました。
私は「平均標準偏差」という用語は知りません。

＞＞＞
実験では、
例　3.244±0.151mmとしてよいということですよね。

はい。
ですが、Ｎｏ．２様がおっしゃるように丸めてから後ろをそろえるのが妥当です。

＞＞＞
提示してくださった例では、一番上に記載されている国語の場合、
111.29±33.10点
となるのでしょうか。

「誤差は１σを表す」と但し書きをした上で、111.29±33.10点　と書きます。
あるいは、
「誤差は２σを表す」と但し書きをした上で、111.29±66.20点　と書きます。
あるいは、
「誤差は３σを表す」と但し書きをした上で、111.29±99.30点　と書きます。

σ（シグマ）は標準偏差のことです。

＞＞＞
昔高校では、このような成績などの標準偏差は、どれくらいばらつきがあったかを示す値であるというように習っていたので、±云々　という話ではないと思ったのですが…
また、111.29±33.10点としていい場合、この値は何を示しているのでしょうか？

平均±１σ　の範囲には、全体の約６８％が入ります。
平均±２σ　の範囲には、全体の約９５％が入ります。
平均±３σ　の範囲には、全体の約９９．７％が入ります。

学力に関しては、
平均＋３σ　⇒　偏差値８０
平均＋２σ　⇒　偏差値７０
平均＋１σ　⇒　偏差値６０
平均　⇒　偏差値５０
平均－１σ　⇒　偏差値４０
平均－２σ　⇒　偏差値３０
平均－３σ　⇒　偏差値２０
と表します。
たとえば、偏差値４０～６０　の範囲には、受験者全体の約６８％が入ります。
たとえば、偏差値７０の人より上には、受験者全体の２％強しかいません。

たぶん、高校数学の教科書の巻末に正規分布表があると思いますが、それを使うと以上のようなことがわかります。
http://www.biwako.shiga-u.ac.jp/sensei/mnaka/ut/normdisttab.html

sanori · Answer

こんにちは。

＞＞＞レポートを書くときの指定として、0.001mm単位まで書かなくてはいけないのですが、

それが正しいです。
有効数字うんぬんではなく、平均と標準偏差は後ろをそろえなくてはいけません。
ですから、平均が小数第3位までなので、標準偏差も小数第3位まででなくてはいけません。
つまり、そのままでよいということです。
そのままでないと、恣意性が働いたごまかしデータになってしまいます。

＞＞＞基本的に、標準偏差は1~2ケタで表すということですが

私は工業に長く携わっていましたが、そんな決まりは聞いたことがありませんよ。
標準偏差の値は品質管理の重要な指標なので、桁を縮めることによって捨てる必要のない情報を捨てるのは、もってのほかなんです。

安心してください。
標準偏差が４桁書かれている有名な実例をお見せします。
http://www.dnc.ac.jp/modules/news/content0434.html

物理実験-実験の平均標準偏差-

＞基本的に、標準偏差は1~2ケタで表すということですが

これまたＮｏ．４様のおっしゃるとおり。

この回答への補足

私もhitokotonusiさんの回答No2に賛成ですね。

#3さんへ

この回答への補足

Ｎｏ．１の回答者です。

こんにちは。

この回答への補足

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