【解析力学】1次元調和振動子のエネルギー

以下の問題「解析力学」の試験で出ました。解き直しをしているのですが、導出過程と解答が分かりません。
お手数をおかけしますが、教えていただけないでしょうか。お願いします。

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母関数
W(q,Q) = aq^2cot(bQ)
によって正準変数q,pから新しい正準変数Q,Pに正準変換したとき、新しい正準運動量Pが1次元調和振動子のエネルギー（Hamiltonian）
H = p^2/2m + mω^2q^2/2
となるように、パラメーターa,bの値を定めよ。また、正準変数Qの物理的意味を述べよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/08/21 00:01

W(q,Q) = a q^2 cot(b Q)

が母関数なので，
p = ∂W/∂q = 2a q cot(b Q), …(1)
P = -∂W/∂Q = a b q^2 /sin^2(b Q). …(2)

(2)より
q^2 = {P/(a b)} sin^2(b Q). …(2)'

(1)より
p^2
= 4a^2 q^2 cot^2(b Q)
= (4a/b) P cos^2(b Q)　(∵(2)'). …(1)'

(1)'，(2)'を使ってHをP，Qで表すと，

H = {2a/(m b)} P cos^2(b Q) + {m ω^2 /(2a b)} P sin^2(b Q).

これがPと一致するのであるから，

2a/(m b) = 1, …(3)
m ω^2 /(2a b) = 1. …(4)

(3)×(4)より
b = ±ω.

このとき(3)より
a = m b/2 = ±m ω/2. (複号同順)

このとき，
W(q,Q) = (±m ω/2) q^2 cot(±ω Q) = (m ω/2) q^2 cot(ω Q). (複号同順)
なので，複号のどちらを選んでもWの形は変わらない．そこで，一般性を失うことなく
a = m ω/2,
b = ω
としてよい．

で，(1)より
p = m ω q cot(ω Q)
tan(ω Q) = m ω q/p
Q = arctan(m ω q/p) /ω. …(5)

この力学系の一般解は
q = A sin{ω(t - to)},
p = m ω A cos{ω(t - to)}
なので(A，toは初期条件によって決まる定数)，これらを(5)に代入すると，
Q = arctan(tan{ω(t - to)}) /ω = t - to.

すなわち，Qは調和振動子の位相が0となる時刻(to)からの経過時間を表す．

この回答へのお礼

丁寧な回答をありがとうございます！！
大いに参考とさせていただきます。

お礼日時：2011/08/21 00:23