物理学の問題です。

問1.
　　　一辺の長さが3aと4aの長方形の各頂点にゼロでない電荷Qa、Qb、Qc、Qdをもった粒子をおい　　た（それぞれの粒子をA、B、C、Dとする）。粒子Aに働く力の総和（合力）がゼロの時、電荷Qa、　　　Qb、Qc、Qdの間の関係を求めよ。ただし、粒子の大きさは無視できるものとする。

問2.
　　　1辺の長さaの正方形の各頂点に4本の無限に長い直線導線A、B、C、Dを正方形の面に垂直　　　になるようい配慮し、それぞれの導線に同じ向きに電流Iを流す。導線Aの単位長さ当たりに働く　　　力のの大きさと方向を求めよ。
　　
　　　問2.の答えはrの位置の磁場をB＝μ0I/2πｒとして、ｒを各導線までの距離にし、F＝IBでもとめ　　るでいいでしょうか？　また、これはすべての導線つまり、AのB、C、Dに対する力の合計を求め　　　るということでよろしいでしょうか？

問3.
　　　抵抗R１、R2と自己インダクタンスL1、L2のコイル（ソレノイド）、および、起電力Vの電池をつな　　　いだ。スイッチを入れた後の時刻ｔに、抵抗R1、R2および電池の各部分に流れる電流をそれぞ　　　れ、I1（t）、I2（t）およびI(t)（並列回路なので、I＝I1+I2です）とする。ただし、コイルの抵抗と電池の　　内部抵抗は無視できるものとし、I1（0）＝I2(0)＝I(0)＝0とする。十分時間がたった時、つまりｔ　　　　→∞でのI1(t) 、I2(t)、I(t)を求めよ。

問4.
　　　面積Aの導体板を間隔dをおいて、平行にならべてある。このコンデンサーの間に面積Aで厚さ　　d1の導体板をコンデンサーの極板と並行においた。このときコンデンサーの静電容量はどのよう　　に変化するか。ただし、ｄ1＜ｄとする。

　　　この問題の答えは単純にεA/（d-d1)でよろしいでしょうか？

問5.　
　　　速さの2乗に比例する抵抗を受けながら落下する物体の、下向きの速さv(t)の時間変化は、微　　分方程式　　dv/dt = g - bv^2　　で表される。ここで、g、bは正の定数である。初期条件v(0)=0の
　　もとに、この微分方程式を解け。

図がなくてすみません。問題が多いですが、解けるやつだけでも大変有難いのでよろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： Quarks 回答日時： 2011/08/25 10:47

問１

Ｑａに働く力が０ということは、Ｑｂ,Ｑｃ,Ｑｄの３つの電荷が、Ａ点に作る電場ベクトルの総和が０だということです。この条件を満たすとき、Ｑａの電荷には依存しないので、Ｑａは任意です。

文章からは、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの位置関係がきちんと説明されていないので、
ＡＢ＝ＣＤ＝３ａ
ＢＣ＝ＤＡ＝４ａ
ＡとＣ、ＢとＤが対角に在るものとして回答します。

Ｂ→Ａ方向をｘ軸の正の向き、Ｄ→Ａ方向をｙ軸の正の向きとする。
また、Ｂ，Ｃ，Ｄの点電荷がＡ点に作る電場の大きさをそれぞれＥｂ,Ｅｃ,Ｅｄ
とすると
Ｅｂ＝ｋ・|Ｑｂ|/(9a^2)
Ｅｃ＝ｋ・|Ｑｃ|/(25a^2)
Ｅｄ＝ｋ・|Ｑｄ|/(16a^2)
　
Ｑｂ，Ｑｃ，Ｑｄの符号も考慮して
Ａ点における、ｘ軸方向の電場の合計は
ｋ・Ｑｂ/(9a^2)＋{ｋ・Ｑｃ/(25a^2)}・(3/5)
∴(1/9)Ｑｂ＋(3/125)・Ｑｃ＝０
これが０でなければならないから、ＱｂとＱｃとは異符号。
　
ｙ軸方向の合計は
ｋ・Ｑｄ/(16a^2)＋{ｋ・Ｑｃ/(25a^2)}・(4/5)
∴(1/16)Ｑｄ＋(4/125)・Ｑｃ＝０
ＱｄとＱｃとは異符号。

整理すると
|Ｑｂ|：|Ｑｃ|：|Ｑｄ|＝3^3：5^3：4^3
ただし、Ｑｂ，Ｑｄは同符号の電荷，ＱｃはＱｂと反対符号の電荷
Ｑａは任意。

問２
>答えはrの位置の磁場をB＝μ0I/2πｒとして、ｒを各導線までの距離にし、F＝IBでもとめる？

はい、そのとおりです。

>また、これはすべての導線つまり、AのB、C、Dに対する力の合計を求める？

はい、そのように計算します。ただし、力はベクトルですから、和もベクトル和になることをお忘れなく。
対称性を考慮すると、計算が少し楽になります。合力は、Ａ→Ｃの方向で
(μ0I^2/2πｒ)・(√2)＋(μ0I^2/2π(ｒ・√2)
＝(μ0I^2/2πｒ){(√2)＋(1/√2)}
＝(μ0I^2/2πｒ)(3/√2)

問３　電池を使っているので、電流は直流と考えて良いのでしょうか？　"並列"接続とされていますが、各素子間の関係が不明瞭です。定常状態になった後では、コイルは抵抗０ですから、電源に対して４つの素子のすべてが並列だと、抵抗には電流が流れず、コイルには∞の電流が流れることになり、問題そのものが不適切に思えます。素子間の接続関係をきちんと正確に伝えるべきでしょう。

問４

>この問題の答えは単純にεA/（d-d1)でよろしい？

はい、そのとおりです。

回路をそのままに、丁寧に考察すると…
元々のコンデンサーの極板をＧ，Ｈ、挿入した導体の、Ｇに近い方の面をＪ、他面をＫとします。
コンデンサーが電荷Ｑを蓄えるまでに充電されると、その極板間の電場によって、導体に静電誘導による誘導電荷が現れてきます。誘導電荷もＱです。Ｇの電荷が＋Ｑとすると、Ｊには－Ｑが、Ｋには＋Ｑが現れますから、あたかもＧＪ、ＫＨが平行板コンデンサーになっているように考えても構いません。ＧＪの距離をｄ'とすると
ＧＪ間の静電容量Ｃ１は
Ｃ１＝εＡ/ｄ'
ＫＨ間の静電容量Ｃ２は
Ｃ２＝εＡ/(ｄ-ｄ1－ｄ')
２つのコンデンサーは直列になってるので、合成容量Ｃは
1/Ｃ＝1/Ｃ１＋1/Ｃ２
＝ｋ・(ｄ'＋ｄ－ｄ1－ｄ')
＝ｋ・(ｄ-ｄ1)
となりますから
Ｃ=εＡ/(ｄ－ｄ１)

まあ、挿入されているのが導体ですから、思考実験風に考えれば、計算するまでもないですか。
導体を、一方の極板の方に、平行移動していって、限りなく近づけたとしても各部の電荷量は変化しませんから、"離れた所"から見ると、Ｇ，Ｊの電荷合計＝０、Ｋに＋Ｑが現れて見えるわけで、Ｋ、Ｈを極板としたコンデンサーができたようなものですね。コンデンサーの極板間距離が　ｄ－ｄ１　になったかのように見えるわけですから、公式で、極板間距離を　ｄ－ｄ１　とすれば良いことがわかります。

問５
微分方程式を解く問題ですね。

dv/dt=g-b・v^2=-b(v^2-g/b)
g/b=β^2とおくと
dv/dt=-b(v^2-β^2)
変形すると
dv/(v^2-β^2)=－b・dt
さらに左辺は
dv・(1/2β){1/(v-β)－1/(v＋β)}　と変形できますから
dv/(v-β)－dv/(v+β)=-2βb・dt
辺々を積分して
log|(v-β)/(v+β)|＝-2βbt＋C'
Cは積分定数です。
ところで
dv/dt=g－b・v^2
で、左辺が０になるとき、ｖ＝ｖ∞(終端速度)ですから　g－b・(v∞)^2=0
つまりｖ∞＝√(g/b)=β
初速度が０でしたから、０＜ｖ＜v∞　なので
v-β<0です
∴log|(v-β)/(v+β)|＝log((β－v)/(β+ｖ))
∴(β-v)/(β+ｖ)=C・e^(-2βbt)
ｔ＝０でv=0でしたから
C=１
∴(β－v)/(β+ｖ)=e^(-2βbt)
整理して
ｖ＝β・(1-e^(-2βbt))/(1-e^(-2βbt))
分母分子に　e^(βbt) を掛けると
ｖ＝β・(e^(βbt)1-e^(-βbt))/(e^(βbt)1＋e^(-βbt))
双曲関数の定義から
ｖ＝β・tanh(βbt)
＝√(g/b)・tanh(t・√(bg))

この回答へのお礼

図を載せず、すみませんでした。

大変ご丁寧に全問に対して議論してくださり、助かりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/08/25 20:53

No.3 回答者： noname#154783 回答日時： 2011/08/25 09:19

じゃあ私は問3を．

コイルと抵抗がどうつながっているのか説明がないので，添付図みたいな回路と想像しましたがどうでしょうか?

十分時間が経つと電流I1(t)，I2(t)は一定の値に収束し，コイルは単なる導線のように振る舞うようになるので，収束値をI1(∞)などと表すと，

V = R1 I1(∞) = R2 I2(∞).

∴I1(∞) = V/R1,　I2(∞) = V/R2,　I(∞) = I1(∞) + I2(∞) = V(1/R1 + 1/R2).


因みに，微分方程式を立てて初期条件のもとで解くと，
I1(t) = (V/R) {1 - exp(-R1 t/L1)},
I2(t) = (V/R) {1 - exp(-R2 t/L2)},
I(t) = I1(t) + I2(t)
となります．

この回答へのお礼

図を載せず、すみませんでした。
図はkz_yさんが載せた通りです。

不明瞭な質問の仕方でしたが、ありがとうございました。

お礼日時：2011/08/25 20:51

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2011/08/25 09:12

ANo.1です。

スミマセン。
係数を書き忘れましたので訂正させて頂きます。
v = √(g/b)・tanh(t√(bg))

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2011/08/25 06:41

取り敢えず問5だけ・・・

v = tanh(t√(bg))