指数方程式の解

xについての以下の方程式が正の解と負の解をそれぞれ１つずつもつとき、
定数aの範囲を求めよ。

【自分の解答】
2^x =tとおく。 (t＞0)

(与式)=t^2 -(a^2)t+2a^2 +4a-6=0
２つの解をα、βとすると、解と係数の関係より、
αβ=2a^2 +4a-6=0

[1]αβ＜0であればよい。
a^2 +2a-3＜0
(a+3)(a-1)＜0
-3＜a＜1

[2]判別式D＞0であればよい。
D=a^4 -8a^2-16a+24＞0

ここで手詰まりです(>_<)
詳しい解説と解答お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/10/03 07:03

> [1]αβ＜0であればよい。

間違い。→
>2^x =tとおく。 (t＞0) …(☆)
なのでα、βは共に正です。→２つの正の解です。
αβ＞0
これは必要条件です。

> [2] D=a^4 -8a^2-16a+24＞0であればよい。
これは必要条件に過ぎません。

>２つの解をα、βとすると
tの二次方程式
　t^2 -(a^2)t+2a^2 +4a-6=0　…(◆)
の２つの解をα、β（0＜α＜β）とすると
と制限しておかないと駄目ですね。

(☆)より x=log[2]t　
xの解が正と負の1個ずつなので
　log[2]α＜0　→ α＜2
　log[2]β＞0　→ β＞2
の条件から
「0＜α＜2＜β」…(△) となる条件(これは必要十分条件です)を求めればいいです。

これから(◆)の左辺を
　f(t)=t^2 -(a^2)t+2a^2 +4a-6
とおくと(△)の必十条件は　次の<1>,<2>を同時に満たすことである。

　<1> f(2)=4(a-(1/2))＜0 → a＜1/2
　<2> f(0)(=αβ)=2a^2 +4a-6=2(a+3)(a-1)＞0 → -3＜a＜1

aの範囲をまとめると　-3＜a＜1/2

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございました☆

お礼日時：2011/10/19 01:12

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/10/03 09:56

f(t)=t^2-(a^2)t+2a^2+4a-6=0

の2解をα,β(α<β)とすると

α=2^x
でx<0であることから0<α<1
β=2^x
でx>0であることからβ>1

であることがわかります。

以上のことから
f(0)>0,f(1)<0
となるためのaの条件を求めればよいことがわかります。

この回答へのお礼

解説ありがとうございました☆

お礼日時：2011/10/19 01:12