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(1)ハミルトニアンHが、H=(p^2)/(2m)+mω(q^2)/2の時、正準運動方程式の一般解が以下のように書けることの示し方を具体的に教えて下さい。

q(t)=Asin(ωt+δ)、p(t)=Aωcos(ωt+δ)

(2)1次元調和振動子に対してビリアルの定理が成立することを、(1)の古典解も基にして確かめる方法を教えて下さい。

A 回答 (1件)

(1) 標準的手続きでハミルトンの運動方程式を作ります.


q,p の連立微分方程式になっています.
どちらかの式をもう一度 t で微分してからもう一方の式に代入すれば,
よく知られた調和振動子の運動方程式になります.

(2) 解がわかったのなら,t の関数としての運動エネルギー K(t) の具体的表式
が書けます.
あとは一周期 T に対して運動エネルギー K の平均値 <K>,
<K> = (1/T) ∫{0~T} K(t) dt
を計算するだけなのでは?
ポテンシャルエネルギーについても全く同様です.
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Q金属、半導体の抵抗の温度変化について

金属は温度が高くなると抵抗が大きくなり、半導体は温度が高くなると抵抗が小さくなるということで、理論的にどうしてそうなるのでしょうか。
金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?
半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。
あと自分で調べていたところ「バンド理論」というのを目にしました。
関係があるようでしたらこれも教えて頂くとありがたいです。

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体の中において金属の自由電子に相当するものは、電子とホールです。この2つは電流を担う粒子ですので、「キャリア」(運ぶ人)と言います。
ホールは、半導体物理学においてプラスの電子のように扱われますが、その実体は、電子が欠けた場所のことを表す「穴」のことであって、おとぎ話の登場人物です。
電子の濃度とホールの濃度に違いがあったとしても、一定の温度においては、両者の濃度の積は一定です。
これは、水溶液において、H+ と OH- の濃度の積が一定(10^(-14)mol^2/L^2)であるのと実は同じことなのです。

中性の水溶液の温度が高くなると、H2O が H+ と OH- とに解離しやすくなり、H2O に戻る反応が劣勢になります。
それと同様に、真性半導体においても、温度が上がると電子とホールが発生しやすくなるのに比べて、両者が出合って対消滅する反応が劣勢になるため、両者の濃度の積は増えます。
キャリアが増えるので、電流は流れやすくなります。

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体...続きを読む

Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Q物理学を学んだ学生の就職について

物理学を学んで修士課程を終えたとして就職でどうのような選択肢がありますか?

Aベストアンサー

buturidaisukiさん、こんにちは。

就職のことはやはり気になりますよね。同じようなことを普段よく尋ねられるので、多くの卒業生を見てきた経験から現実にどうかということを書かせていただきます。

まず、結論から書きますと、ANo.1~ANo.3の皆さんも書かれているように、本人さえしっかりしていれば、大抵の会社は選択肢に入ると思います。

ANo.4さんは、分野は影響は受けると書かれていますが、ある程度、そういうこともあるでしょうが、それほどではないと私は思います。というのは、元々、理学部を卒業する場合には、勉強した「知識」をそのまま使って企業で活躍するというセンスよりも、むしろ、そこで習得した「能力」を生かすというセンスだからです。逆にもし工学部を卒業しても、そこで学習した知識がそのままどんぴしゃで企業でも使えるケースは珍しいようです。

また、物理の中での理論と実験の違いですが、私の知る限り、理論だと実験よりも会社には不利ということはないと思います。それには二つ理由があります。一つは現代の産業の現状は、IT系に重点が移ってきていて、理論系なら殆どの場合コンピューターをかなり使いますので、その面でかえって有利であること。もう一つは測定器や作業機械の使い方などは、実験系だからといって同じ機械を使うとは限りませんし、どちらにしても入社後に勉強するケースのほうが多いと思われるからです。

企業の中で、理学部出身の人が工学部出身の人よりも少ない主な原因は、日本中で工学部の定員が非常に多いことでしょう。私の見る限り、卒業生が就職で苦労するケースは、分野というよりも、むしろ個々人のパーソナリティに依ることが多いように思われます。企業では周りの環境に柔軟に順応してくれる人、しっかり意思疎通の出来る人を好むでしょうし、当然、企業の利益にかなわないことをしたいという人は、どんな学部の卒業生でも取らないでしょう。


次に具体的な現状を書きます。どこの大学とは、もちろんここでは書けませんが、卒業生の就職先はやはりIT係を中心に製造業が多いです。それは元々日本の産業構造自体がIT係に重点が移ってきているためだと思います。一言にIT係といっても、かなり幅が広いですし、IT係以外の製造業も多いです。どんな製造業でも最近はコンピューターはかなり使うと思われます。

製造業の中には当然、民間企業の研究所に就職するケースもあります。民間企業の研究所では、ごく一部の例外を除いて、その企業の利益に直結することを研究します。その内容は、物理学に基礎を置いた研究もありますし、物理学とは直接の関係のない研究をすることもあります。物理の卒業生はどちらの方向にも進んでいます。ただし「直接の関係のない」と言っても、物理はあらゆるものの基礎になりますから、殆どのものは何らかの関係はあります。

次に多いのは、公務員や中学高校教諭だと思います。その場合は、もちろん、公務員試験の勉強や、教員免許をとり教員採用試験の勉強をする必要があります。

製造業に比べれば、数は少なくなりますが、商社や金融関係に就職した人もいます。また特殊な例ではパイロットになった人もいます。


せっかく物理学を勉強したのに、就職した後に直接に関係のないものをやるのは勿体ないとか、しんどいとか思われるかもしれません。しかし、ANo.3さんも書かれているように、物理学というのは、あらゆる学問や科学技術の基礎であり、また、知識そのものを使わなくても、物理学を学ぶ過程で習得した「現実に根ざした論理的思考」というのは、どんな分野にも共通に必要なものなのです。ANo.4さんも書かれているように、「仮説・検証・修正」という物理学の方法は、あらゆることに適用が可能です。

また、「知識の陳腐化」ということがあります。技術というものは日進月歩ですから、大学でどんな分野の学問をした場合でも、どのみち入社後にも勉強をし続けていかないといけません。しかし理学系と工学系の違いは、理学部で勉強したことは、時間が立って成り立たなくなるようなことではないというところです。物理で言えば、力学や電磁気学などの知識が陳腐化することは未来永劫ありません。それらは自然界の法則だからです。ところがある特定の「技術」というものは、多くの場合数年で陳腐化してしまいます。

さらに、逆に基礎的な知識が必要になったときに、技術だけを学んでいた人が基礎に立ち戻って勉強しなおすのは、大変なエネルギーが必要になります。一度でも基礎を十分に勉強したことがある人は、忘れてしまっていても、少し勉強すれば思い出すことができます。基礎をしっかり勉強した上に応用を勉強するほうが、応用だけを勉強しているより安心です。

これは教育関係に進む場合も同様だと思います。やはり理学部でしっかりその分野の内容を勉強しつつ教員免許も取るほうが、教育学部で教員免許をとるよりも好ましいと、個人的には思っています。(両方やるのは確かに大変ですが。)


最後に、修士課程に進むメリットについて付け加えます。学部で、およそ力学、電磁気学、量子力学、熱統計力学を学習するわけですが、それは学問の基礎の部分です。卒業研究~修士課程で、研究(らしきもの)に手を染めることにより、その基礎部分の知識の本当の意味が、より正しく深く理解できます。また、現実の問題を考えることにより、「問題解決能力」も身につけることができます。研究の世界では必要に応じて問題を自分で整理して設定する能力が求められます。誰かがきれいに作った問題を解くだけの話ではなくなってくるのです。そのような能力はどんな分野に就職しても必要とされるものです。大学院ではその部分も学ぶことが出来るはずです。

buturidaisukiさん、こんにちは。

就職のことはやはり気になりますよね。同じようなことを普段よく尋ねられるので、多くの卒業生を見てきた経験から現実にどうかということを書かせていただきます。

まず、結論から書きますと、ANo.1~ANo.3の皆さんも書かれているように、本人さえしっかりしていれば、大抵の会社は選択肢に入ると思います。

ANo.4さんは、分野は影響は受けると書かれていますが、ある程度、そういうこともあるでしょうが、それほどではないと私は思います。というのは、元々、理学部を...続きを読む

Q電子の運動方程式からの電子の速度の導出法

電子の運動方程式m(dv/dt)=-eE-(mv)/τから
電子の速度v(t)=-(τeE/m)(1-exp(-t/τ))が導けるらしいのですが、どうやれば導けるのか、過程が全く分からず困っています・・・
どなたか教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

ご質問の微分方程式は1階線形なんで、vは
v(t)=A exp(B t)+C
という格好をしてると決めつけていいんで簡単に解けますが、ご質問のv(t)の式が出るためには初期条件
v(0)=0
が抜けているようです。

Q単位法線ベクトルの求め方

曲面z=x^2+y^2の点(1,0,1)における単位法線ベクトルを求めよ

という問題で、答えが分からず困っています。


1.

φ=x^2+y^2-z=0
gradφ=(2x,2y,-1)
(1,0,1)での勾配は、(1,0,1)を代入してgradφ=(2,0,-1)
この単位ベクトルを求めて、(2,0,-1)*5^(-1/2)


2.

求める値は
{(∂φ/∂x)×(∂φ/∂y)}/{l(∂φ/∂x)×(∂φ/∂y)l}に(1,0,1)を代入すればよいので
(-2x,-2y,1)/(4x^2+4y^2+1)^(-1/2)に(1,0,1)を代入すればよい
よって、(-2,0,1)*5^(-1/2)

どちらの答えがあっているのでしょうか?

出てきた値の符号が違うので........

Aベストアンサー

ある曲面の単位法線ベクトルがuだとすると、-uもまた単位法線ベクトルになります。
両方とも単位法線ベクトルです。

QNaClのX線回折の色

NaClのX線回折の実験をしたのですが、色が黄色になりました。
これってどういう性質あるいは原理で色がついてるんですか?
以外にも調べた本に色の事に触れているものがなくて。。。
また偶然(?)炎色反応と同じ色っていうのも何かあるんでしょうか。

Aベストアンサー

redbean さんの書かれているように,色中心が生じたものと思われます.
本来は透明な物質中に,
何らかの作用によって局所的な電子準位が生じて色がつくことがあります.
この原因となるところを色中心と呼んでいて,
通常は種々な構造の格子欠陥によっています.

色中心ができる典型的物質がハロゲン化アルカリで,
色中心をつくる典型的方法がX線照射です.
yamikuro2001 さんの状況はまさにこれになっていたわけです.
その他,アルカリ金属蒸気にさらすなどの方法もあります.

放射線にさらされたガラスが茶色になる現象も,
この色中心の効果と言われています.

色が炎色反応と同じという件ですが,
redbean さんと同意見で偶然のように思われます.
炎色反応は炎の中で揮発した金属原子の状態間遷移による輝線スペクトルですが,
色中心の方は固体内での格子欠陥にとらえられた電子の準位間遷移が
関係しています.
したがって,色中心はアルカリ原子の種類だけでなく,
ハロゲンの効果もシビアなはずで,両者の色の起源は違うものだと思います.

redbean さんの書かれているように,色中心が生じたものと思われます.
本来は透明な物質中に,
何らかの作用によって局所的な電子準位が生じて色がつくことがあります.
この原因となるところを色中心と呼んでいて,
通常は種々な構造の格子欠陥によっています.

色中心ができる典型的物質がハロゲン化アルカリで,
色中心をつくる典型的方法がX線照射です.
yamikuro2001 さんの状況はまさにこれになっていたわけです.
その他,アルカリ金属蒸気にさらすなどの方法もあります.

放射線にさらされ...続きを読む

Q分配関数(状態和)がわかりません。

統計力学とかで出てくる分配関数(状態和)がありますが、物理的な意味がよくわかってません。
Σexp(-β・ei)とありますがどういう意味なんでしょうか?

またある問題でエネルギー準位ε=(n+1/2)hνのN個の独立な調和振動系子の系があり
この調和振動子一個に対する状態和が
Z=1/{2sinh(hν/2kB・T)}
となることを示せという問題があるんですが問題の意味すらよくわかりません。
一個に対する状態和?という感じです。
どうかお願いします。

Aベストアンサー

>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというように表すことが出来ますね。
このときの状態和は
 Z=ΣP(x)
  =P(1)+P(2)+…+P(6)
  =6*1/6
  =1
ということになります。

>速度やモーメントならしっくりきますが状態というのは一体何なんでしょうか?
さいころで言うと状態は「1の目が出ること」などに対応します。
この場合は6つの状態を取り得ますね。

>一個に対する状態和?
粒子が一個であっても e_n =(n+1/2)hν という結果を見れば、
基底状態 e_0 = hν/2 の状態にあるかもしれないし、
励起状態の1つ e_1 = (1+1/2)hν = 3/2*hν のエネルギー状態にあるかもしれない、
というようにとり得る状態は1つではないことがわかります。
あとは、先のさいころの例と同様に
e_0 の状態にある確率が exp(-βe_0)
e_1 の状態にある確率が exp(-βe_1)
   :
ですからこれらの確率の無限和をとるだけです。


この質問とは関係ないですが、
その後、相対論の理解は進みましたか?

>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというよう...続きを読む

Qもうひとつ。正準変換で。

Q=q^a・cosbp
P=q^a・sinbp
が正準変換になるためのa,bの値の求め方で
考え方が全くつかめません。お願いします。

Aベストアンサー

p,qがハミルトン方程式
 dq/dt = ∂H/∂p, dp/dt = -∂H/∂q
を満たす時,変換
 Q=Q(q,p), P=P(q,p)
が正準変換であるとはQ,Pについても同じ形の方程式
 dQ/dt = ∂H/∂P, dP/dt = -∂H/∂Q
が成り立つことであるとします。Q、Pが正準変換である条件は
 {Q,Q}qp = {P,P}qp =0,  {Q,P}qp = 1 …(1)
が成り立つことです。ここで{,}qpはq,pを変数として計算したポアソン括弧です。まず(1)を示すことから始めましょう。
 dQ/dt = (∂Q/∂q)(dq/dt) + (∂Q/∂p)(dp/dt)
   = (∂Q/∂q)(∂H/∂p) - (∂Q/∂p)(∂H/∂q)
   ={Q, H}qp
 dP/dt ={P, H}qp
したがって
 {Q, H}qp=∂H/∂P, {P, H}qp=-∂H/∂Q …(2)
が示せれば良いことになります。p,qの任意の関数u,v,wについて
 {u, vw} = v{u,w} + {u,v}w 
は容易に確かめられます。これを使うと(1)が成り立つ時任意の自然数nについて
  {Q, P^n}qp = n P^(n-1)
となることが数学的帰納法で容易に示せます。ところがこれはQと、Pの多項式のポアソン括弧はPの多項式をPで微分したのと同じであることを示しています。同様に
  {P, Q^n}qp = -n Q^(n-1)
したがってP,Qの任意の多項式H(P,Q)について(2)が示されました。Hが多項式でない時に問題が残りますがこのように考えれば量子力学に移行しやすいでしょう。
(1)がわかれば後は容易で
 {Q,P}
  =aq^(a-1)cosbp・q^a・bcosbp + aq^(a-1)sinbp・q^a・bsinbp
  =abq^(2a-1)
  =1      …(3)
よりa=1/2,b-2
答案には(3)以下を書けば十分です。

p,qがハミルトン方程式
 dq/dt = ∂H/∂p, dp/dt = -∂H/∂q
を満たす時,変換
 Q=Q(q,p), P=P(q,p)
が正準変換であるとはQ,Pについても同じ形の方程式
 dQ/dt = ∂H/∂P, dP/dt = -∂H/∂Q
が成り立つことであるとします。Q、Pが正準変換である条件は
 {Q,Q}qp = {P,P}qp =0,  {Q,P}qp = 1 …(1)
が成り立つことです。ここで{,}qpはq,pを変数として計算したポアソン括弧です。まず(1)を示すことから始めましょう。
 dQ/dt = (∂Q/∂q)(dq/dt) + (∂Q/∂p)(dp/dt)
   = (∂Q/∂q)(∂H/∂p) - (∂Q/∂p)(∂H/∂q)...続きを読む

Q調和振動子

   D:エイチバー
   α:√(mω/D)
   q:αx
1次元調和振動子のn=0の場合の固有関数
 φ0(x)=(mω/πD)^1/4×exp(-q^2/2) 
    =(mω/πD)^1/4×exp(-mωx^2/2D)
を使って
 位置の期待値 <x>=∫x│φ0*│^2 dx
 運動量の期待値 <Px>=∫φ0*(-iDd/dx)φ0 dx
 位置の二乗の期待値 <x^2>=∫x^2│φ0│^2 dx
 運動量の二乗の期待値 <Px^2>=∫φ0*(-iDd/dx)^2φ0 dx
の4つを計算したいのですが、ややこしくて出来ません。
どなたか、計算してみてください。
因みに、答えは『0、0、D/2mω、mωD/2』になる筈です。

Aベストアンサー

vortexcore さんの書かれているように
> ややこしくて出来ません
の具体的内容を書かれた方が回答も書きやすいでしょう.

期待値を求める方法はご存知のようですから,あとは積分だけですね.
<x> と <Px> は本質的に

(1)  ∫{-∞~+∞} t exp(-t^2) dt

の計算ですね(t = q/√2).
これは t^2 = z とおけばすぐに計算ができます.
でも,Umada さんご指摘のように,奇関数の{-∞~+∞}積分ですから,
計算するまでもなく答はゼロです.
調和振動子は右に行ったり左に行ったりの繰り返しで,
対称性を考えれば位置も運動量も正の場合と負の場合が同じ確率で現れますから,
期待値はゼロ,というのが物理的意味です.

<x^2> と <Px^2> の期待値の計算では

(2)  ∫{-∞~+∞} exp(-t^2) dt
(3)  ∫{-∞~+∞} t^2 exp(-t^2) dt

の計算が必要です.
(2)は有名な積分(ガウス積分)で √π であることが知られています.

(2')  ∫{-∞~+∞} exp(-t^2) dt = √π

(2')で,t^2 = az^2 とおきますと

(2'')  ∫{-∞~+∞} exp(-az^2) dz = √(π/a)

となり,(2'')の両辺を a で微分してから a=1 とおけば

(3')  ∫{-∞~+∞} z^2 exp(-z^2) dz = (1/2) √π

が得られます.これで(3)の積分は解決.
あとは係数の調整だけですので,
自分で手を動かしてみてください(これが大事です).

Umada さんの言われるように,x と Px の線形結合を使った演算子を用いると
簡単ですが,たしかに概念的にとっつきにくい気はします.

調和振動子では運動エネルギーの期待値とポテンシャルエネルギーの期待値が
等しいこと,および基底状態のエネルギーが (1/2)Dω であること,
を使ってよいなら,

(4)  <Px^2>/2m = (1/4)Dω  (運動エネルギー期待値)
(5)  (k/2) <x^2> = (1/4)Dω    (ポテンシャルエネルギー期待値)

です.k はばね定数で,ω^2 = k/m.
(4)=(5) で,(4)+(5) が(1/2)Dωになっています.
これから簡単に <Px^2> と <x^2> が出ますね.
でも,これは反則かな?

おまけに(2')の導出(よく本に載っています):

(6)  I = ∫{-∞~+∞} exp(-t^2) dt

として

(7)  I^2 = ∫{-∞~+∞} exp(-t^2) dt ×∫{-∞~+∞} exp(-y^2) dy
      = ∫{-∞~+∞} dx∫{-∞~+∞} dy exp{-(x^2+y^2)}
      = ∫{r=0~+∞} ∫{θ=0~2π} exp(-r^2) r dθ dr
      = 2π ∫{r=0~+∞} exp(-r^2) r dr
      = π

から(2')が直ちにわかります.
(7)で2行目から3行目に移るところは,
(x,y) 座標から (r,θ) の極座標に変換しました.

vortexcore さんの書かれているように
> ややこしくて出来ません
の具体的内容を書かれた方が回答も書きやすいでしょう.

期待値を求める方法はご存知のようですから,あとは積分だけですね.
<x> と <Px> は本質的に

(1)  ∫{-∞~+∞} t exp(-t^2) dt

の計算ですね(t = q/√2).
これは t^2 = z とおけばすぐに計算ができます.
でも,Umada さんご指摘のように,奇関数の{-∞~+∞}積分ですから,
計算するまでもなく答はゼロです.
調和振動子は右に行ったり左に行ったりの繰り返しで,
対称性を...続きを読む


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