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正弦定理の証明ってできますか?

鈍角三角形の場合なんですが…

A 回答 (3件)

後続の質問で、↓とのことですが、


http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7481356.html
鈍角三角形の場合と鋭角三角形の場合の証明が
ほぼ同様であることは、こっちの
A No.1 にも、A No.2 にも書かれています。
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鈍角三角形ABC(∠Aが鈍角)に外接する円を書いて、その直径をRとする。


で、Bから円の中心を通る直線を引き、外接円との交点をA'とします。
で、ここで直角三角形A'CB(∠A'CBが直角)を利用します。
この時、線分BCの長さaは円の直径、つまり2Rになるでしょう。
なので、
sin∠A' = a/(2R)
円周角の定理から
∠A' = 180°-∠A
sin∠A' = sin(180°-∠A) = sin∠A
なので
sin∠A = a/(2R)

みたいな感じです。
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正弦定理は、円周角の定理と同値です。


三角形の外接円を描いて、
辺の一端から垂直に引いた直線と
円との交点を考えましょう。
交点がもとの辺を見込む角は、
辺の対角が鋭角なら、対角と等しく、
対角が鈍角なら、その補角と等しくなります。
後は、交点を頂点に持つ直角三角形に
sin の定義をあてはめるだけです。
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