【正弦定理の証明】

正弦定理の証明ってできますか？

鈍角三角形の場合なんですが…

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/05/18 20:20

後続の質問で、↓とのことですが、

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7481356.html
鈍角三角形の場合と鋭角三角形の場合の証明が
ほぼ同様であることは、こっちの
A No.1 にも、A No.2 にも書かれています。

No.2 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2012/05/17 21:18

鈍角三角形ABC（∠Aが鈍角）に外接する円を書いて、その直径をRとする。

で、Bから円の中心を通る直線を引き、外接円との交点をA'とします。
で、ここで直角三角形A'CB（∠A'CBが直角)を利用します。
この時、線分BCの長さaは円の直径、つまり2Rになるでしょう。
なので、
sin∠A' = a/(2R)
円周角の定理から
∠A' = 180°-∠A
sin∠A' = sin(180°-∠A) = sin∠A
なので
sin∠A = a/(2R)

みたいな感じです。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2012/05/17 21:09

正弦定理は、円周角の定理と同値です。

三角形の外接円を描いて、
辺の一端から垂直に引いた直線と
円との交点を考えましょう。
交点がもとの辺を見込む角は、
辺の対角が鋭角なら、対角と等しく、
対角が鈍角なら、その補角と等しくなります。
後は、交点を頂点に持つ直角三角形に
sin の定義をあてはめるだけです。