【3月6日実施】システムメンテナンス実施のお知らせ

お世話になっております。
物体の組合せについての例題に(恐らく)度々使われるアトウッドの装置を利用する問題についての質問です。

滑車に糸をくくり付けて、質量がm、M(m<M)のおもりA、Bを糸の両端につけたときのおもりの加速度aと糸の張力Tを求めよ。但し、滑車の摩擦や糸の重さは無視し、重力加速度はgとする。というやつです。

(恐らく)大抵の場合教科書には例題として取り上げられていると思うので、解については良いのですが、その過程で
(1)滑車にかかっている糸の両端の張力は等しいとして良い
(2)(質量が異なるから、A、Bの運動方向は互いに逆方向になるが)A、Bの加速度は等しい

という二点の根拠が分かりません。ご存じでしたらお教え下さい。宜しくどうぞ

A 回答 (1件)

「糸は、軽くて伸び縮みしないものとする」などと、サラリと書かれていますが、この条件があるから、


(滑車と糸との間に摩擦が無ければ)「糸の両端の張力は等しい」「両物体の加速度の大きさは等しい」と言えるのです。

(ア)「糸の両端の張力は等しい」

糸の両端に掛かる張力(糸を伸ばす向きに働いている力です)がT1とT2(T1>T2)だったとします。糸が伸び縮みしないとすると、糸の各部は同じ運動(加速度の大きさが各部で一致している、加速度運動)をするということになります。その加速度の大きさをα(有限値)とすると、糸全体に関する運動方程式は
T1-T2=0・α
となります。これを満たすためには、
T1-T2=0
でなければなりません。
つまり、
T1=T2
です。
糸の両端に掛かっている力が等しいなら、作用反作用の法則から、糸の各端から各物体に作用する力も一致しているはずです。

(イ)
>(質量が異なるから、A、Bの運動方向は互いに逆方向になるが)A、Bの加速度は等しい

正確には、
…A、Bの加速度(の大きさ)は等しい
です。

伸び縮みしない糸で結びつけられていますから、運動方向こそ違え、常に2物体の速さは同じはずです。
もし、速さが違うなら、2物体の距離は変化します。それは、糸が伸びたり縮んだりするという意味のはずです。これは、糸が伸び縮みしないという条件と矛盾しますから、速さは一致しているはずです。
速さが常に同じということは、単位時間当たりの速さの変化量(つまり、加速度の大きさ)も一致しているということです。
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この回答へのお礼

まるで数学みたいですが、よく分かりました。

丁寧な解説に感謝です。ありがとうございました。

お礼日時:2012/06/17 08:52

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