対数の微分についてです。

f(x)＝a^xの両辺の対数をとると、
lnf(x)＝xlna
となるらしいのですが、これは何故ですか？
申し訳ありませんが、教えていただけると嬉しいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： asuncion 回答日時： 2012/08/30 16:45

お問い合わせの内容は、対数止まりですよね。

それとも、これから微分しようとされている、ということでしょうか。

両辺の自然対数をとると
ln{f(x)}=ln(a^x)
ここまではいいですよね。ここで、右辺の真数がa^xですから、
その対数をとると、
ln(a^x)=x・ln(a)
となることは、公式か何かとして、教科書や参考書に書いてあるはずです。
「何とか乗の対数」=「対数の何とか倍」

この回答へのお礼

解りやすいご説明、ありがとうございました！
大変参考になりました。

お礼日時：2012/08/31 22:21

No.3 回答者： hashioogi 回答日時： 2012/08/30 18:42

教科書に

ln(a^x)=x ln(a)
という説明がありませんか ?

これにより、
f(x)=a^xの場合
ln f(x)＝ln (a^x)=x ln (a)
になるのですが…。

この回答へのお礼

みなさまからいただいた回答を読んでいたら、理解することができました。
こんなにも簡単なことだったのですね。
ご回答、ありがとうございます。

お礼日時：2012/08/31 22:24

No.2 回答者： noname#159957 回答日時： 2012/08/30 18:26

lnが

指数関数の
逆関数だ
ということが
分かっていれば
以下のように
理解できると
思います。

a>0の（自然）対数lna
はa=e^b
となるようなbのこと。
同じように
a^xの対数ln(a^x)は
a^x=e^c
となるようなc。
ここで
a=e^lna
よって
a^x
=(e^lna)^x
=e^(xlna)
なので
そのようなcは
c=xlna。

この回答へのお礼

そのような考え方もあるのですね。
参考になります。
ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2012/08/31 22:22