回転行列の問題です。

図の行列のｎ乗を求めたいのですが求め方がわかりません。よろしくおねがいします。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/03/06 10:49

A=2*

[1/2,-√3/2]
[√3/2,1/2]
=2*
[cos(π/3),-sin(π/3)]
[sin(π/3),cos(π/3)]
=2*Bとおくと
B=
[cos(π/3),-sin(π/3)]
[sin(π/3),cos(π/3)]
行列Bはベクトルを反時計まわりにθ=π/3[ラジアン]だけ回転させる回転行列であることが分かる。
参考URL参照
http://www.cg.info.hiroshima-cu.ac.jp/~miyazaki/ …

行列式|B|=1なのでBはn乗しても回転角が変わるだけ。
θ=π/3として
B^2は回転角2θ=2π/3の回転行列になるので
cos(2θ)=-1/2,sin(2θ)=√3/2
B^2=
[cos(2θ),-sin(2θ)]
[sin(2θ),cos(2θ)]
=
[-1/2,-√3/2]
[√3/2,-1/2]
このとき
A^2=(2^2)B^2

B^3は回転角3θ=πの回転行列になるので
cos(3θ)=-1,sin(3θ)=0
B^3=
[cos(3θ),-sin(3θ)]
[sin(3θ),cos(3θ)]
=
[-1,0]
[0,-1]
このときA^3=(2^3)B^3

B^4は回転角4θ=4π/3の回転行列になるので
cos(4θ)=-1/2,sin(4θ)=-√3/2
B^4=
[cos(4θ),-sin(4θ)]
[sin(4θ),cos(4θ)]
=
[-1/2,√3/2]
[-√3/2,-1/2]
このときA^4=(2^4)B^4

B^5は回転角5θ=5π/3の回転行列になるので
cos(5θ)=1/2,sin(5θ)=-√3/2
B^5=
[cos(5θ),-sin(5θ)]
[sin(5θ),cos(5θ)]
=
[1/2,√3/2]
[-√3/2,1/2]
このときA^5=(2^5)B^5

B^6は回転角6θ=2πの回転行列になるので
cos(6θ)=1,sin(6θ)=0
B^6=
[cos(6θ),-sin(6θ)]
[sin(6θ),cos(6θ)]
=
[1,0]
[0,1]
=E
このときA^6=(2^6)B^6=(2^6)E
Eは単位行列

この続きは、B^6=Eなので
B^7=B^6*B=E*B=B
B^8=B^6*B^2=E*B^2=B^2
B^9=B^6*B^3=E*B^3=B^3
B^10=B^6*B^4=E*B^4=B^4
B^11=B^6*B^5=E*B^5=B^5
B^12=B^6*B^6=E*E=E
と繰り返しとなる。

以上から
nを6で割ったあまりで6通りに場合分けできる。
従ってmを自然数として

n=6mのとき
A^n=2^(6m)*(B^6)^m=2^(6m)E
=2^(6m)*
[1,0]
[0,1]

n=6m-5のとき
A^n=2^(6m-5)*B^(6m-5)=2^(6m-5)*B^(6m-6)*B=2^(6m-5)*E*B
=2^(6m-5)*B
=2^(6m-5)*
[1/2,-√3/2]
[√3/2,1/2]
=2^(6m-6)*
[1,-√3]
[√3,1]

n=6m-4のとき
A^n=2^(6m-4)*B^(6m-4)=2^(6m-4)*B^(6m-6)*B^2
=2^(6m-4)*E*B^2
=2^(6m-4)*B^2
=2^(6m-4)*
[-1/2,-√3/2]
[√3/2,-1/2]
=2^(6m-5)*
[-1,-√3]
[√3,-1]

n=6m-3のとき
A^n=2^(6m-3)*B^(6m-3)=2^(6m-3)*B^(6m-6)*B^3
=2^(6m-3)*E*B^3
=2^(6m-3)*B^3
=2^(6m-3)*
[-1,0]
[0,-1]
=-2^(6m-3)*
[1,0]
[0,1]

n=6m-2のとき
A^n=2^(6m-2)*B^(6m-2)=2^(6m-2)*B^(6m-6)*B^4
=2^(6m-2)*E*B^4
=2^(6m-2)*B^4
=2^(6m-2)*
[-1/2,√3/2]
[√3/2,-1/2]
=2^(6m-3)*
[-1,√3]
[√3,-1]

n=6m-1のとき
A^n=2^(6m-1)*B^(6m-1)=2^(6m-1)*B^(6m-6)*B^5
=2^(6m-1)*E*B^5
=2^(6m-1)*B^5
=2^(6m-1)*
[1/2,√3/2]
[√3/2,1/2]
=2^(6m-2)*
[1,√3]
[√3,1]

以上、お分かりになりましたか？

参考URL：http://d.hatena.ne.jp/ks88/20120219/1329629297

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。丁寧に説明があったのでわかりやすかったです。

お礼日時：2013/03/09 11:52

No.2 回答者： mimipooooooo 回答日時： 2013/03/06 01:35

2をくくり出したら、sinとcosの回転行列にあてはまり、

その後、(1)3n-2 (2)3n-1 (3)3nに場合分けすればよろしいかと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。できれば、３の倍数で場合分けをする理由を教えてもらえればうれしいのですが…。

お礼日時：2013/03/09 11:52

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/03/06 00:29

「回転行列」というよりも、拡大(縮小)＋回転の形になっています。

各成分から 2をくくり出せば…

この回答へのお礼

素早い回答ありがとうございました。意味がわかりました。ありがとうございました。

お礼日時：2013/03/09 11:45