有効数字についてお聞きしたいです！

学校で、加減乗除の計算の際の有効数字の設定についてと説明されたのですが加算の時は位が高い方に合わせる、乗算の時は低い方に合わせる。と言われましたが、例外もあるようで結局どうすればよいかわかりません。
例えば
A、0.123+0.0123
B、0.123×0.0123
の場合どうなるのでしょうか？
教えて下さい‼︎よろしくお願いします。

No.1 回答者： lupan344 回答日時： 2015/05/01 00:21

A、0.123+0.0123＝0.1353→0.135（有効数字：小数点以下３桁）

B、0.123×0.0123＝0.0015129→0.00151（有効数字３桁）

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/05/01 01:09

有効数字の話は、機械的に覚えるのではなく、きちんと「意味」を理解しないと頓珍漢なことをしかねません。

　ポイントは、「どこで数字を丸めているか」「どの程度の誤差を持っているか」ということです。

Ａでは、
　　0.123　は　0.123　±0.0005　
つまり真値は　0.1225～0.1234999・・・　の間にあるということです。

　足し合わせる　0.0123　は同様に、0.0123　±0.00005　ということです。

　従って、不確かさは「±0.0005」（値の大きい方）が支配的なので、小数点以下４桁目より下は誤差ということになります。従って、小数点以下４桁を四捨五入して、小数点以下３桁までの数が「信頼できる数」になるのです。

　つまり、0.123+0.0123　→　0.135　です。

　加減算のときは、このように「実際の数値の何の位まで信用できるか」（この場合は「小数点以下３桁＝0.001の位まで」）で考えます。細かい数値は信用できないので、高い位の方に合わせます。


Ｂでは、これが掛け算なので、

　　（0.123　±0.0005）×　(0.0123　±0.00005）
　＝ 0.123 × 0.0123 ±0.0005 × 0.0123 ±0.00005 × 0.123 +0.0005 × 0.00005
　＝ 0.0015129 ±0.00000615 ±0.00000615 + 0.000000025

となって、どちらの誤差も同じように影響します。絶対値ではなく「上から何桁目まで信用できるか」で決まります。（小数点以下の桁数が多くなって、分かりづらいですね）
　この場合には、第１項の小数点以下６桁目、すなわちゼロ以外の数値の上から４桁目以降は誤差の範囲ということが分かります。
　つまり、信用できるのは、ゼロ以外の数値の上から３桁目まで、ということです。従って、上から４桁目を四捨五入して、有効数字３桁にします。

つまり、0.123×0.0123　→　0.00151　です。

　乗除算のときは、このように「ゼロ以外の数値の頭から何桁が信用できるか」（この場合は「３桁」）で考えます。少ない桁数の方が誤差の比率が高いので、桁数の少ない方に合わせます。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2015/05/01 10:23

No.2です。

昨晩は時間が無くなって、「B」が分かりにくいまま終わってしまいましたので、少し補足します。

　分かりやすさのために、

　　123 × 0.0045678

でやってみましょう。

　　123　→　1.23 × 10^2
　　0.0045678　→　4.5678 × 10^(-3)

と書けるのはご承知のとおりです。

　従って、

　　123 × 0.0045678
　= 1.23 × 4.5678 × 10^(-1)

となります。つまり、乗除算では、その数字の精度に「数字の位」や「大きい小さい」は関係なくなってしまうのです。

　これに「誤差」を付記してみると、

　　(123 ±0.5) × (0.0045678 ±0.00000005)
　= [1.23 × 10^2 ±5 × 10^(-1)] × [4.5678 × 10^(-3) ±5 × 10^(-8)]
　= 1.23 × 4.5678 × 10^(-1) ±2.2839 × 10^(-3) ±6.15 × 10^(-6) + 2.5 × 10^(-10)
　≒ [1.23 × 4.5678 ±2.2839 × 10^(-2) ] × 10^(-1)

となり、最大の誤差は第2項であることが分かります。これは「123」の持つ誤差「±0.5」によるもので、「A.AAAA・・・×10^n」で表わした答の小数点以下2桁目にこれだけの誤差があるということです。
（ですから、厳密に言えば「有効数字3桁」で計算した結果は、有効数字3桁目にも多少の誤差がある、ということです。かえって混乱するかな?　まあ、「有効数字の少ない方の桁数までは、ほぼ信頼できる」と理解しましょう）

　以上のようにして、乗除算では「数字の位」ではなく、「ゼロ以外から始まる数字の桁数」が有効数字に影響することが分かると思います。

No.4 回答者： angkor_h 回答日時： 2015/05/01 19:26

有効数(計算精度)を定めたら、普通は何桁か増やして計算を進めます。

加減乗除を重ねるとその誤差が有効桁数にまで及んでくるからです。
その中で、信頼できる桁数が最も少ない源情報が、結論の有効桁数、とするのが普通です。

加算の時は位が高い方に合わせる。
　例で言えば、被加算数0.123の小数点以下4桁目(空欄)は信頼性が無いので、
　加算数の同桁「3」の加算は意味がありませんが、
　これが5以上であれば、合計で四捨五入される可能性が高まります…小数点以下3桁目への影響大。
乗算の時は低い方に合わせる。…同様にお考え下さい。

「例外もあるようで」の意味が解かりませんが、
有効桁数を超える桁数で解析(加減乗除の計算)を進めて結果としてそれを示し、
更に、有効桁数は「○桁で有る」旨を付け加えるのが妥当です。
これは、「999」と「1111]は見た目桁数は違いますが、末尾誤差「1」は同じ比率、も含みます。

No.5 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2015/05/04 16:22

そんな覚えて済まそうとするから理数系が伸びない。

そもそも0.123も0.0123も有効数字３桁ですよ。基本を理解していないからおかしなことに
0.123・・・　・・・は不正確、意味は0.123 +0.0004～-0.0005
　０.１２３・・・
+)０.０１２３・・　意味のない桁に加えても意味無い。

　0.1234　～　0.1229
+ 0.0123　～　0.0123
　0.1357　～　0.1352

　掛け算も同様に・・考えて見ましょう。

★そもそも、0.123と0.0123は有効数字何桁ですか??そこをまったく理解していない。
0.123　　有効数字３桁
0.0123　　有効数字３桁
で同じです。加えると0.1353 になりますが、有効数字３桁ですから、0.135です。
書けても同じです。
0.123 × 0.08　は、有効数字３桁と１桁ですから、0.0984 ⇒ 0.1 ですよ。

0ではない数字に挟まれた0は有効である。
　　1230.04 は有効数字 7桁
0ではない数字より前に0がある場合、その0は有効ではない。
　　0.000123　は有効数字3桁
小数点より右にある0は有効である。
　　123.00 は有効数字 5桁

加算の場合は、桁数を合わせて確かな桁まで求める。
　123000
+　　120
　123000←

掛け算の場合は12300 × 120 は
　1.23 × 10⁵ × 1.2 × 10² = 1.5 × 10⁵