反転増幅回路について

Question

まず、以下のサイトを参照してください（お借りしますm(_ _)m）
http://www.gxk.jp/elec/musen/1ama/Htb/html/HD0101_a.html
http://www.gxk.jp/elec/musen/1ama/H14/html/H1412A09_.html

ここの説明の中で、
＞Ｒ1には片側が基準電位（GND）でもう片方がＶinがかかっていることになります。従ってR1に流れる電流Ｉinは、
＞Ｉin＝Ｖin/Ｒ1　…(1)
＞となります。
とあるのですが、
Pの地点から右側（オペアンプの方向）には電流が流れないのですから
電流はPの地点から上（R２の方向）に流れていくと思います。
そうであるならば、添付画像の図Bのような等価回路になりませんか？
つまり電流Ｉinは
Ｉin＝(Ｖin-Vout)/(Ｒ1+R2)
という式で求めてはいけないのでしょうか？
たしかにこの式からだとここからどうやって電圧利得Ｇi（Vout/Ｖin）を求めるのかが自分でも分からないのですし、
そもそもオペアンプ自体が消えてしまってるので^^;間違っているとは思いますが・・・
例えば図Aのようにその回路に流れる電流を求める場合には、普通は合成抵抗を算出してその値で電圧を割って求めますよね？
この反転増幅回路についてもPから右には流れないということなので
そこから先は線がつながってないと考えてこのような導き方になったのですが
どこらへんが間違っているのでしょうか？
もし宜しければ演算増幅器の中の回路の構造も含めて教えて頂けないでしょうか？

yhr2 · Accepted Answer

No.2です。「お礼」に書かれたことについて。

＞P地点の電位は0じゃなくて
＞Vin-R1×Iin
＞になりますよね？

はい。
　Vp = Vin-R1×Iin
だとすると、かつ、P地点の電位は
　Vp = Vout + R2 × Iin
でもあります。
　移項すれば、結局
　　　(R1 + R2) * Iin = Vin - Vout
です。

確かに、オペアンプの増幅度は有限なので、現実的にはオペアンプの入力電圧は Vop≠0 の値を持つと考えましょう。そうすると
　　(Vin - Vop)/R1 = Iin　　　　（１）
　　(Vop - Vout)/R2 = Iin 　　　（２）
となります。（「電圧増幅」ということで、オペアンプ内を流れる電流はとりあえず無視できることにします）
　オペアンプの電圧増幅度を M として、β = 1/M とおけば
　　　Vout = M * Vop
　　　Vop = βVout
となります。これで（１）（２）を書き換えると、

(Vin - βVout)/R1 = (βVout - Vout)/R2

これより

Vout = -Vin * R2 / [ R1 ( 1 - β ) - β*R2 ]　　　（３）

となります。M>>1　つまり β≒0 で近似すると、
　　Vout = -Vin * R2 / R1
になるわけです。

現実的な計算がしたければ、（３）式を使って、M=100 (β=0.01）とか、M=1000 (β=0.001）として計算すればよいわけです。

なお、追加された図Ｃでは、図Ａと同じで、オペアンプの「増幅」がありませんので、外部条件で与えられるVinとVoutの電位差に従って、抵抗値 R1, R2 で決まる電流が流れるだけです。電流は与えられた電圧によって「受動的」に流れます。

これに対して、図Ｂでは、オペアンプの増幅作用により、（３）式のように、Vinに従ってVoutが能動的に作り出されます。

Voutと接地との間に、負荷抵抗 Z を接続することを考えましょう。
　図Ａ、図Ｃでは、「R1 + R2 + Z」の直列抵抗に、Vinの電位差に従った電流が「受動的に」流れ、Voutは「R1 + R2」と「Z」の抵抗比に従って、従属的に
　　Vout = [ Z / (R1 + R2 + Z ) ] * Vin 　　（５）
となるだけです。
　（５）式から分かるように、常に
　　　 Vout < Vin 
です。

これに対して、図Ｂでは、負荷抵抗 Z には（３）式のような Vout が作り出されます。
　　Vout = -Vin * R2 / [ R1 ( 1 - β ) - β*R2 ]

これから分かるように、「R2/R1」の取り方により、Z には Vin より大きい電圧を取り出せます。
　（３）式で、R2 = 10*R1、β=0.01 とすれば
　　　Vout ≒ -11.2 * Vin
になります。

これがオペアンプという「能動素子」による「増幅」ということです。そのためのエネルギーは、オペアンプの「電源」から供給するわけです。

tknakamuri · Answer

>図Cのようにオブアンプの出力の部分がないとどうなるのでしょうか？

+, - 間の電位差 x A = Vout が成り立たなくなります。
この関係は Vout が入力側にフィードバックすることで成り立っていたので
成り立たなくなります。
OPアンプは出力が切れているので何もできません。 R1, R2 にぶら下がっているごみになります。

仮に　Vout(出力)に　RL(負荷抵抗)がつながっているとすると、
Vout = Vin x RL/(R1 + R2 + RL)

Vout(出力)に何もつながっていないのであれば

Vout = Vin

tknakamuri · Answer

>基本的に入力された電圧（Vin）以上のものを
>生み出すってありえないですよね

オペアンプの話でこうくるのはすごいですね。

もしそうならラジオもテレビもコンピュータもスマホも
全て嘘だったということになります。
全て「増幅」を利用しているので・・・(^^;

yhr2 · Answer

「オペアンプなんて、有っても無くても同じじゃないか」とお考えですか？

まあ、それに近いのですが、図Bにおいて、

・Voutは「マイナス」である（Vi とは逆極性という意味です）
・R1 と R2 の間の点が「電位ゼロ」になる（「接地電位とショート」とか、2入力のオペアンプでは「2入力間をショート」という意味で、「バーチャルショート」 とか「イマジナリーショート」と言ったりします）

であることをお忘れなく。つまり、オペアンプは「増幅度無限大、入力抵抗無限大」の近似であるがゆえに、「無くても同じ」等価回路が書けるのです。

従って、図B において、R1には「+Vinから0Vの電位差で Iin = Vin/R1 の電流が流れる」、R2には「0Vから Vout の電位差で Iin = -Vout/R2 の電流が流れる」ということです。
　これで全体の電位差を計算すれば、
　　　(R1 + R2) * Iin = Vin - Vout
ですから、
　　　
＞つまり電流Ｉinは
＞Ｉin＝(Ｖin-Vout)/(Ｒ1+R2)
＞という式で求めてはいけないのでしょうか？

は、「それで結構ですよ」ということです。

tknakamuri · Answer

>Ｉin＝(Ｖin-Vout)/(Ｒ1+R2)
>R1という式で求めてはいけないのでしょうか？

問題ありません。OPアンプの増幅率を A とすると

Vout = -A(Vin-IinR1) ですから

Vout = -A(Vin-(Ｖin-Vout)R1/(Ｒ1+R2)) = -A{VinR2/(R1+R2)+VoutR1/(R1+R2)} 
→ -Vout/A = VinR2/(R1+R2)+VoutR1/(R1+R2)

-Vout/AはOPアンプの+, - 間に入力電圧を表します。

Aが十分大きいとすると左辺は(OPアンプの+, - 間に入力電圧は) 0 とみなしてよいので

Vout/Vin=-R2/R1

これが基本です。

教科書が教える解き方は、Vout が普通の電圧の範囲で、A が非常に大きいなら 
OPアンプの+, - 間の入力電位差は非常に小さいはず　と考えるわけで、結局上の
解き方と同じなのですが、Aが十分大きい場合の近似であるということを
頭に入れておくとわかりやすいと思います。

反転増幅回路について

>図Cのようにオブアンプの出力の部分がないとどうなるのでしょうか？

No.2です。

>基本的に入力された電圧（Vin）以上のものを

「オペアンプなんて、有っても無くても同じじゃないか」とお考えですか？

>Ｉin＝(Ｖin-Vout)/(Ｒ1+R2)

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