A 回答 (3件)
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No.2
- 回答日時:
式の区切り目が不明ですが(「1/2」がθにかかるのか、項全体にかかるのか、など)、一応下記として回答します。
sin(2θ) * sin(θ) - 4 * sin^2(θ/2) * cos(θ) - a = 0 (1)
まずは、「2θ」や「θ/2」を「θ」に統一しておきましょう。そうしないと先に進めないので。
sin(2θ) = 2 * sin(θ) * cos(θ)
sin^2(θ/2) = (1/2) * [ cos(θ/2 - θ/2) - cos(θ/2 + θ/2) = (1/2) * [ 1 - cos(θ) ]
これを(1)に代入して
2 * sin(θ) * cos(θ) * sin(θ) - 4 * (1/2) * [ 1 - cos(θ) ] * cos(θ) - a = 0
整理して
2 * sin^2(θ) * cos(θ) - 2 * cos(θ) + 2 * cos^2(θ) - a = 0
ここで
sin^2(θ) = 1 - cos^2(θ)
で置換して
2 * [ 1 - cos^2(θ) ] * cos(θ) - 2 * cos(θ) + 2 * cos^2(θ) - a = 0
-2 * cos^3(θ) + 2 * cos^2(θ) - a = 0 (2)
ここで
cos(θ) = x
とおくと、与えられた条件 0 ≦ θ ≦ pai の範囲では
-1 ≦ x ≦ 1
で
x^3 - x^2 + a/2 = 0 (3)
となります。
与えられた問題は、「実数解の個数を求める」ことなので、ここではグラフを使って解きます。
つまり
y = x^3 - x^2 + a/2 (4)
のグラフを描いて、-1 ≦ x ≦ 1 の範囲で、y=0 つまり x 軸との交点の数が(3)の方程式の「実数解の数」になることを利用します。
(4)のグラフは、添付図に示した
y = x^3 - x^2 (5)
のグラフを、「a/2」だけ上下に移動したものになります。
(5)のグラフは、x=0, x=1 でx軸と交差し、x= 2/3 で極大値 4/27 をとります。
従って、(4)のグラフは、-1 ≦ x ≦ 1 の範囲では
・a/2 < 0 では x 軸との交点なし →実数解なし
・a/2 = 0 では x 軸との交点2点 →実数解2個
・0 < a/2 < 27/4 では x 軸との交点3点 →実数解3個
・a/2 = 27/4 では x 軸との交点2点 →実数解2個
・27/4 < a/2 ≦ 2 では x 軸との交点1点 →実数解1個
・2 < a/2 では x 軸との交点なし →実数解なし
ということが分かります。
従って、
・a < 0 では実数解なし
・a = 0 では実数解2個
・0 < a < 27/2 では実数解3個
・a = 27/2 では実数解2個
・27/2 < a ≦ 4 では実数解1個
・4 < a では実数解なし
となります。
No.3
- 回答日時:
解く過程は自分でやらなきゃ身に着きません。
これは、微分の基礎問題です。
sin2θsinθ−4sin^2 θ/2 cosθのグラフを書くことが主テーマです。
最大、最小、極値、増加、減少。
微分の項で既に学びましたね!
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