2次方程式
x^2-2ax+aー6=0
が2つの正の解を持つとき、定数aの値の範囲を求めよ。
この問題の解き方を教えてください。
例えば、2次関数y=x^2-2ax+aー6
※頂点は(a、-a^2+aー6)
を考えて、3つの条件
①頂点のy座標が負 -a^2+aー6<0
②頂点のx座標が正 a>0
③y軸と正で交わる aー6>0
より求める範囲はa>6となると思います。
①の2次不等式の解が「すべての実数」となるので少し難しい…。
解と係数の関係なども考えられますが、数学Ⅰの入試問題なので、
なるべく簡単な方法で解ければよいと思っています。
2次関数を利用する以外の考え方はありますか?
No.2
- 回答日時:
No.1です。
すみません、問題を読み違えていました。a > 0 という条件はないですね。2つの実数解があることから、判定式は
4a^2 - 4(a - 6) > 0
つまり
a^2 - a + 6 > 0
(a + 3)(a - 2) > 0
よって
a < -3 または 2 < a
このとき
x^2 - 2ax + a - 6 = 0
の解は
x = 2a ± 2√(a^2 - a + 6)
a<-3 のときには、少なくとも一方の解は負になる。従ってa<-3 は不適。
2 < a のときには、2つの解がともに正であるためには
2a > 2√(a^2 - a + 6)
a>0 なので
4a^2 > 4(a^2 - a + 6)
つまり
a^2 > a^2 - a + 6
より
0 > - a + 6
よって
6 < a
これは 2 < a の条件を満たす。従って、求める条件は 6 < a である。
> 2つの実数解があることから、判定式は4a^2 - 4(a - 6) > 0
> つまりa^2 - a + 6 > 0
> (a + 3)(a - 2) > 0
最後の因数分解は誤りですよね?
※この2次不等式の解はすべての実数。
でもここじゃないところを教えてください!
仮に、a < -3 または 2 < aという条件が得られたとして
>x = 2a ± 2√(a^2 - a + 6)
> a<-3 のときには、少なくとも一方の解は負になる。 ☆
この☆の理由が知りたいです。
それまでの計算が間違っていることは抜きにしてください。
No.3
- 回答日時:
2次方程式なので2次関数を使わないと出来ないと思います。
①異なる実数解を持つ
②2つの解がともに正
この両方を満たす事を考えるしかないと思います。グラフが数式。
数式なら以下くらいしか思い付きません。
異なる実数解を持つから判別式(a + 3)(a - 2) > 0
∴a<-3 又は a>2
2つの解がともに正だから、解の積>0 and 解の和>0
解と係数の関係より2a>0 且つ a-6>0
全てを満たすaの範囲は a>6
回答ありがとうございます。
判別式はa^2-a+6(定数項は+6)で合ってますよね?
やっぱり、もっといい方法はないのでしょうか?
解と係数の関係だと、数学Ⅱの知識ですよね。。。
あとは、yhr2さんの回答の方法なのかなぁ。。。
No.5
- 回答日時:
No.2です。
>最後の因数分解は誤りですよね?
ああ、またやっちゃいましたね。受験生なら落ちますね。
ご指摘のとおり、
a^2 - a + 6 > 0
(a - 3)(a + 2) > 0
よって
a < -2 または 3 < a
です。
>>x = 2a ± 2√(a^2 - a + 6)
>> a<-3 のときには、少なくとも一方の解は負になる。 ☆
>
>この☆の理由が知りたいです。
No.4の Tacosan のとおりです。
しつこく説明すれば
a<0 なら
x = 2a ± 2√(a^2 - a + 6)
の第2項が「マイナス」の方の解
x = 2a - 2√(a^2 - a + 6)
は
2a<0 かつ -2√(a^2 - a + 6)<0
ですから、必ず x<0 になります。
No.7ベストアンサー
- 回答日時:
No.6です。
No.2の回答がめちゃくちゃだったので、私なりの回答の完成版を載せます。2つの実数解があることから、判定式は
a^2 - a + 6 > 0
(a - 1/2)^2 + 23/4 > 0
なので、全ての a で実数解を持つ。
このとき
x^2 - 2ax + a - 6 = 0
の解は
x = 2a ± 2√(a^2 - a + 6)
a<0 のときには、一方の解
x = 2a - 2√(a^2 - a + 6)
は
2a<0 かつ -2√(a^2 - a + 6)<0
なので、少なくとも一方の解は負になる。
従ってa<0 は不適。
0 < a のときには、2つの解がともに正であるためには
x = 2a - 2√(a^2 - a + 6) > 0
従って
2a > 2√(a^2 - a + 6)
でなければならない。
a>0 なので、二乗しても不等号の向きは変わらず
4a^2 > 4(a^2 - a + 6)
つまり
a^2 > a^2 - a + 6
より
0 > - a + 6
よって
6 < a
これは 0 < a の条件を満たす。
従って、求める条件は 6 < a である。
丁寧に教えていただきありがとうございます。
> a>0 なので、二乗しても不等号の向きは変わらず…
は、気を付けないといけないポイントですね。
No.8
- 回答日時:
条件は中学の学習指導要領の範囲内、と言う事なので、そもそも判別式を使って実数の判定という手段は使え無いですね。
質問者様の方法がビジュアルで有って、一番中学生向きだと思います。
強引に式を使って中学数学の範囲内で行なうと、少しゴタゴタします。
二次方程式の解の公式は習うので
x² - 2ax +a - 6 =0の解はx=a±√(a²-a+6)
(a²-a+6)>0で無いと解が無いから(これは習う)(a + 2)(a - 3)>0
① ∴a<-2 or 3<a
2つの解が正だから、
a-√(a²-a+6)>0 and a+√(a²-a+6)>0
a-√(a²-a+6)>0 より a > √(a²-a+6)
右辺は正だから、両辺ともに正。だから二乗しても不等号の向きは変わらない。両辺を2乗して
a ²> a²-a+6 移項して整理すると 6 < a
② 上の①と併せると 6 < a
③ a+√(a²-a+6)>0は①の3<aなら、全ての項が0より大きいから常に成り立つ。
①のa<-2の場合は、√(a²-a+6)が正だからー√は負
a>-√(a²-a+6)は両辺とも負だから二乗すると不等号の向きが変わる。
a ²< a²-a+6 移項して整理すると a < 6
②と同時に成立しないので、a<-2は有りえない。
②、③を同時に満たすaは、6 < a
ありがとうございます。
>条件は中学の学習指導要領の範囲内
ではなく、数学Ⅰの知識で解くことを意図していました。
解の公式や“不等号”は中学校でも習うようですが、
”不等式”は中学校で扱えるのかな?
No.9
- 回答日時:
>解と係数の関係なども考えられますが、数学Ⅰの入試問題なので、
>なるべく簡単な方法で解ければよいと思っています。
それはおかしい。入試で数学Ⅰの科目ですから、「必ずその範囲で解け」という訳じゃないですよ。数学Ⅱで学ぶ微分を使うほうが楽ならそれで解いてもよい。
でも微分使わなくてもよいでしょう。頭の中で使っても・
数学Ⅰの範囲で解くのでしたら
2次方程式
x² - 2ax + a - 6 = 0
が2つの正の解を持つとき、定数aの値の範囲を求めよ。
中学で不等式も習っているので、中学生でも解けるね。
平方完成して
x² - 2ax + a - 6
= x² + 2(-a)x + a - 6
= x² + 2(-a)x + a² - a² + a - 6
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
= (x - a)² - a² + a - 6
ここで、y = x² - 2ax + a - 6
すなわち、y = (x - a)² - (a² - a + 6) を考えると
(y - (a² - a + 6)) = (x - a)²
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄y軸方向に、(a² + a - 6) 移動した式を表すことが分かる。
ここで、x²の係数が正なので、下に凸なグラフなので、
グラフを描くとわかるように、xが正で、かつy軸との交点が0以上でなければならない。
★ 下に凸で、頂点のx座標が正でかつy軸との交点が0以上--f(0)>0ということは、
y = [0]² - 2a[0] + a - 6
がy軸との交点であるから、
a - 6 > 0
∴ a>6
二次方程式使うのではなくグラフから論理的に解く。
やっていることは、質問に載せたことと同じですよね?
>中学で不等式も習っているので、中学生でも解けるね。
どこまで(中学生の思考が)飛躍していいのかは微妙ですが、
y-β=f(xーα)
がグラフの平行移動を意味することや
”不等式”を扱うことは、中学校の範囲外では??
No.10
- 回答日時:
No.8続き
確かに一次不等式は数Ⅰの範囲ですね。
二次関数グラフも数Ⅰの範囲。
中学数学では無理、が正解だと思いました。
数Ⅰの範囲なら、既出の回答で良いと思います。
入試問題で実際に出題された問題なのですが、その学校の難易度や解答欄の狭さから、問題としてどうなんだろう?自分が気が付かないだけで、簡単な解き方があるのでは…?と悩んでいたんです。
やはり、このQAで教えてもらったこと以上のことはなかなか出てきそうにないですかね。それでも、色んな方から回答をいただいて、とても助かりました。
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