物理の計算で
m×dv/dt×v=d/dt{1/2mv(t)^2}
という変形はどうやったらできますか?

質問者からの補足コメント

  • 回答お願いいたします!

      補足日時:2017/04/18 19:07

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A 回答 (3件)

2つの関数F(t)、G(t)を考えると



 dF(t)*G(t)/dt = dF/dt * G + F * dG/dt   ①

です。

ここで
 F = mv
 G = v
とおいて①に代入すれば

d(mv²)/dt = d(mv)/dt * v + mv * dv/dt = 2*mv*dv/dt

これで
 mv*dv/dt = (1/2)d(mv²)/dt
なのですけどね。
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この回答へのお礼

質問に何度も答えてくださって本当にありがとうございます!
物理得意になります!

お礼日時:2017/04/18 20:25

ザックリと簡単に。



mdv/dt・vをtで積分すると…

∫mdv・v=m∫dv・v=m(1/2v²)+C=1/2 mv²+C(積分定数)

これをtで微分すると
左辺=m×dv/dt×v
右辺=d/dt(1/2mv²)

vはtの関数だからv(t)と書けば質問式になる。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
左辺を合成関数の微分で考えた場合の右辺の導き方も教えてもらえますか?

お礼日時:2017/04/18 18:09

右辺は



d/dt{1/2mv(t)^2}
= d/dv{1/2mv(t)^2}* dv/dt

となるのは分かりますか?

このうち
 d/dv{1/2mv(t)^2}= mv
ですから、左辺に等しいことが分かります。

式の変形だけの問題ですか?
物理的な意味ということですか?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
左辺を合成関数の微分で考えた場合の右辺の導き方も教えてもらえますか?
式の変形だけで大丈夫です^_^

お礼日時:2017/04/18 18:10

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Aベストアンサー

微分でわからなくなったら差にして考えてみてください。

速度vというのは、Δtを十分に小さい量として

v(t) = [ x(t+Δt)-x(t) ]/[ (t+Δt)-t ] = Δx(t)/Δt

ですね。同じようにして加速度a(t)は

a(t) = [ v(t+Δt)-v(t) ]/[ (t+Δt)-t ] = Δv(t)/Δt

ですが、v(t)に上の結果を使うと

a(t) = Δv(t)/Δt = Δ[Δx(t)/Δt]/Δt = Δ[Δx(t)]/(Δt)^2

です。

微分というのはΔt→0の極限を取ったときにΔをdと書くという
約束になっているというだけのことなので、

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)

は間違いで、本当は

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt)^2

という意味です。

また、

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No.2です。すみません、単位を間違えました。
最後のところは、下記に修正します。

 一定の重力加速度 g がかかる地上で、高さ h の位置から質量 m の物体を自由落下させれば、高さゼロの位置での速度を v とすれば、高さによる「位置エネルギー」が運動エネルギーに変わり、エネルギー保存
  (1/2)mv² = mgh
が成り立ちます。

 単位を比べれば
  m : kg
  v :m/s
  h :m
なので
 (1/2)mv² :kg・m²/s² = N・m = J
 mgh :kg・(m/s²)・m = kg・m²/s² = N・m = J
で一致します。

Qdv/dt=mg+Kv^2

dv/dt=mg+Kv^2
を解くと、v(t)=√mg/Ktan(mgt+c) (c:任意定数)
が出ました。
ここから、v(0)をいくら大きくしても、v(T)=0を満たすTがπ/2√Kgを超えないことを示すにはどうしたら良いでしょうか?

Aベストアンサー

#2です。
#3の
>速度の二乗に比例した空気抵抗を受ける質点の運動方程式
についてです。

運動方程式は
mdv/d=mg+Kv^2  (K>0)
です。下向きを正にしています。
上向きに投げると減速します。重力だけしか働いていない時よりも減速はきついです。
これだけを見ればKv^2は「抵抗」であると言いたくなるかもしれません。
でも最高点を過ぎると重力と合わさって加速します。
「抵抗」とは運動の邪魔をするような力の働き方についての言葉です。初め減速だがあるところから加速に変わるような力にたいして抵抗という言葉を使うことはできません。鉛直真下方向に重力と重力とは別の力の2つが働いているということがいえるだけです。重力が減速の働きをしているからと言って抵抗であるとは言わないのと同じことです。当然「空気抵抗である」ということもできません。

運動によっては「速度の二乗に比例する空気抵抗」を考える時はあります。
その場合は普通V>0の領域だけに運動を限っています。
mdv/dt=mg-Kv^2
1つの式でV>0,V<0の両方に対応することはできないのです。
(微分方程式の解も異なります。tanは出てきません。)
上に投げればどんな抵抗が働いていたとしても必ず落ちてきますから元の地面までの運動が表現できるような式になっていなければいけないはずです。

速度に比例する抵抗というのがよく出てきます。
mdv/dt=mg-K'v
これは運動の方向と反対向きに働く力であるという条件が常に満たされています。
いつも邪魔をするのです。投げ上げてから最高点までの運動でも最高点から後の落下運動でも抵抗として働きます。その意味では使いやすい式だということになります。

#2です。
#3の
>速度の二乗に比例した空気抵抗を受ける質点の運動方程式
についてです。

運動方程式は
mdv/d=mg+Kv^2  (K>0)
です。下向きを正にしています。
上向きに投げると減速します。重力だけしか働いていない時よりも減速はきついです。
これだけを見ればKv^2は「抵抗」であると言いたくなるかもしれません。
でも最高点を過ぎると重力と合わさって加速します。
「抵抗」とは運動の邪魔をするような力の働き方についての言葉です。初め減速だがあるところから加速に変わるような...続きを読む

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 もし、物理の理論でありながら総和Σ_{l}が無限個の項の総和を意味している、というのなら、お使いの教科書の場合、多分、ごく多数個の「ターゲット粒子」があるという状態を、無限個の「ターゲット粒子」があるという状態で近似する、という方法で扱うために「周期超関数に関するフーリエ変換」というものを利用しようとしていて、その文脈において

> kr_{l}が2πの整数倍でない場合はゼロになる

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これはrをtで2回微分する、という意味です。定義ですので覚えるしかありません。
r(位置ベクトルでしょう)を時間tで微分するとその瞬間の速度v=dr/dtが得られます。
速度vを時間tで微分すると加速度a=dv/dtが得られます。(v,aはベクトル)
a=dv/dt=(d/dt)(dr/dt)=d^2r/dt^2
です。


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