高校物理の参考書の積分の変形がわかりません

高校物理の参考書に、数学上の操作で

∫(t→0) v(τ)dτ=∫(t→0) dx/dτ dτ＝∫（x(t)→x(0))dx=x(t)ーx(0)　とあるのですが
　　なぜ積分の区間が（t→0)から(x(t)ーx(0))にかわるのかわかりません。
どなたか教えていただけますか？

質問者からの補足コメント

• もう少し具体的に説明していただけるとありがたいのですが。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/08/12 14:54

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2017/08/12 14:14

置換積分だから

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/08/12 21:04

置換積分の公式

　∫[a→b]f(x)dx = ∫[c→d]f(x)(dx/du)du = ∫[c→d]f(g(u))g'(u)du
　x=g(u), c=g(a), d=g(b)
を使っています。

この公式で
　x→τ、f(x)→v(τ)
と置き換えれば（どちらにも違った意味の x があるので、x を使わない式にするため）
　∫[a→b]v(τ)dτ = ∫[c→d]v(τ)(dτ/du)du = ∫[c→d]v(g(u))g'(u)du
となって、ここで
　g(u)=u, v(τ)=du/dτ
にすれば、v(u)=1, g'(u)=dg/du=1 なので
　∫[a→b]v(τ)dτ = ∫[c→d]du
　c=g(a)=g(0)=0, d=g(b)=g(t)=t
です。
機械的に当てはめるとこうなります。

この回答へのお礼

ありがとうがざいます。そのようなプロセスが隠されていたんですね。回答を紙に鉛筆で再現してちゃんと理解したいと思います。
　質問する前は、この謎の変形（私にとってはですが）がわからなくても
∫(t→0)(dx/dτ)dτ の原始関数はx(τ)だから　[x(τ)](t→0)＝x(t)－x(0)
　と同じ結果は導けるようなのでわからなくとも、ま、いいかとも思ったんですが、なんか気になって質問してみました。
　その不可解な謎を解き明かしてくださり助かりました。ありがとうございました。すごいですね。

お礼日時：2017/08/13 08:30