x=rcosθ、 y=sinθを使って2重積分をしなさい。 この問題を教えてください 度々すみません

x=rcosθ、 y=sinθを使って2重積分をしなさい。
この問題を教えてください
度々すみません( •́ㅿ•̀。 )

No.1 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2018/02/03 09:41

∬[D]{log(x²+y²)}　　　D={(x,y)|1≦x²+y²≦4 , x,y≧0}

＝∫[1→2]dr∫[0→π/2]{2logr}rdθ
＝π(2log2－3/4)

計算ミスなければ・・!

この回答へのお礼

素早い回答ありがとうございます

お礼日時：2018/02/03 11:42

No.3 回答者： drmuraberg 回答日時： 2018/02/03 11:38

＜x=rcosθ、 y=rsinθを使って2重積分＞の間違いだと思います。

I=∫∫log(x^2+y^2)dxdy は x=rcosθ、 y=rsinθ、dxdy=rdrdθ　より、
=∫∫log｛r^2(cos^2*θ+sin^2*θ)｝rdrdθ =∫∫log(r^2)rdrdθ
=2∫∫rlog(r)drdθ　＝２∫dθ∫rlog(r)dr

積分範囲D{x.y|1≦x^2+y^2≦4, x≧0,y≧0}　
→D’｛0≦θ≦π/2,1≦r≦2｝となるから、
I= 2θ｜（r^2/4)(2logx-1)）*| 範囲はD’
=π｛4/4(2log2-1) –(1/4)(2log1-1)｝
=π(2log2-1+1/4)
=π(2log2-3/4)

*
https://ja.wikipedia.org/wiki/原始関数の一覧#対数関数を含む積分

この回答へのお礼

詳しく回答していただきありがとうございます

お礼日時：2018/02/03 11:42

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2018/02/03 09:47

ANo.1・・!

dxdyが抜け落ちた　ゴメン・・!
∬[D]{log(x²+y²)}dxdy
＝π(2log2－3/4)