剛体振り子の運動方程式を高校生の範囲で求める

添付写真にあります問題で問３（２）なのですが誘導にしたがったエネルギー保存則との対応で解くことはできたのですが　これを　単振り子でやるように　運動方程式をたて角振動数を求めてから周期を求める、と言ったことは高校生の範囲で可能なのでしょうか？また京大入試でよく出る換算質量を用いて解くことはできますか？
解答は　２パイ√（５L/3ｇ）です。

質問者からの補足コメント

• 早々にご回答誠にありがとうございます。実は慣性モーメントは現行の高校の範囲外となっておりますため、できましたら　慣性モーメントやラクランジュアン等　を使わずにお教えいただけませんでしょうか？

    補足日時：2018/02/12 19:40

• 何度もお手を煩わせて申し訳ありません。エネルギーでは僕も何とかたどり着きました。
  （もっと　ぐちゃぐちゃでしたが）ｆ＝ｍa の運動方程式からa=-ω＾2×変位　の形から
  角振動数ωを持って行くのはこの問題ではできないのでしょうか？　また　できないのは
  剛体棒におもりが２個ついているからなのでしょうか？
  何度もごめんなさい。

    補足日時：2018/02/13 15:58

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/02/12 19:01

剛体振り子の運動量方程式は、θが充分小さいとき

I(d^2θ/dt^2)=-(Lmg+2Lmg)θ
但し I=mL^2 + m(2L)^2
ー方、バネ+重りの単振動は
M(d^2x/dt^2)=-kt

微分方程式の形は全く同じなので、単振動の
角周波数が
ω=√(k/M) から、剛体振り子のそれは
ω＝√{3Lmg/(5mL^2)}=√(3g/(5L)}
T=1/(f)=2π/ω=2π√(5L/(3g)]

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/02/12 20:25

ふーむ、じゃあエネルギーでやりますかね。

剛体振り子の運動エネルギーは、θ=0の時の角速度をω0とすると、力学的エネルギー保存則で
(5/2)m(ωL)^2 = (5/2)(ω0L)^2 - 3mg(1-cosθ)≒(5/2)(ω0L)^2 - (3/2)mgθ^2

一方、ばねの端振動による運動エネルギーは、バネが自然長でx=0とすると
x=0のとき、速度がv0とすれば、力学的エネルギー保存則で
(1/2)Mv^2 = (1/2)Mv0^2 - (1/2)kx^2

ここで、v とω、v0とω0 を対応させると

5mL^2 ⇔ M
3mg ⇔ k

という対応関係になるので、周期は ω=√(k/M)に対応をあてはめて ω=√{3g/(5L)}

うーん、回りくどいですね。高校生は大変だな。歪んでます。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/02/12 21:16

あ、間違ってる。

Lが抜けてますね。

>(5/2)m(ωL)^2 = (5/2)(ω0L)^2 - 3mg(1-cosθ)≒(5/2)(ω0L)^2 - (3/2)mgθ^2
(5/2)m(ωL)^2 = (5/2)(ω0L)^2 - 3mg(1-cosθ)≒(5/2)(ω0L)^2 - (3/2)Lmgθ^2

>5mL^2 ⇔ M
>3mg ⇔ k

5mL^2 ⇔ M
3Lmg ⇔ k

ですね。結論は合ってる

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/02/13 20:18

>ｆ＝ｍa の運動方程式からa=-ω＾2×変位　の形から

>角振動数ωを持って行くのはこの問題ではできないのでしょうか？

２階の定数係数微分万程式は高校の範囲内
らしいので、
AN01のバネの運動方程式から求まると思います。

これかな?
https://physnotes.jp/math/diff-eq-phys/

eの複素数べきを回避して、なんとか高校の
範囲内に納めようと頑張ってますね(^^;

この回答へのお礼

このたびはありがとうございました。もっと勉強しなければと思いました。

お礼日時：2018/02/15 09:46