三次方程式の答えを…

x^3-(3√3)x^2-3x+√3=0
これの解を近似値ではなく平方根や立方根を使って正確な値で求めてくれませんか。
また、求め方も教えてくださるとありがたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/08 02:05

数式処理ソフトなら #1 で挙がっている公式を使ってくれます. 例えば Maxima を使うと 1つの解が

√3 + (4√3 + 4i)^(1/3) + (4√3 - 4i)^(1/3)
であるとわかります.

No.3 回答者： diff3356 回答日時： 2018/04/08 07:27

まず、x=y+√3 とおき原式からx^2の項を消去します。

(この操作でどんな３次方程式も２次の項をなくすることができる)
y^3 - 12y - 8√3=0 ...(*)
ここで、y=r*cosφ、(r>0) とおくと(*)は、
(3r^3/4 - 12r)*cosφ + (r^3/4)*cos(3φ) - 8√3=0.
となり、r=4 に選べばこれは、
cos(3φ)=√3/2.
となります。
ーーーーーーーーーーーーー
x=4*cos(pi/18)+√3, x=4*cos(11pi/18)+√3, x=4*cos(13pi/18)+√3.
が完全な解です。・・・しかしこれは三角関数を使い表現しただけで、根号で表現できず簡単になりません。(cos(3φ)＝a,において |a|≦1 となりましたがそうならないこともあり)

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/04/08 01:48

一般的には知られていませんが、三次方程式と四次方程式には解の公式があります。

この公式に、各次数の係数を代入すれば、ご質問でいうところの正確な値を計算（表記）できます。

http://enjoymath.pomb.org/?p=12

なぜ、一般的には知られていないかというと、見てもらえば分かる通り、かなり複雑な公式のため、二次方程式のように簡単には覚えられないのと、解の公式で計算した解も一見して具体値が見えてこないからです。
表記上は正確でも、具体値は結局近似値計算になってしまうため、実質的にあまり意味を持ちません。

あと、五次方程式以上は、解の公式は存在しない（代数では解けない）ことが証明されています。
特殊なケース（x^5=1等)以外では因数分解すらできません。