0°≦θ＜2π sinθ－√3cosθ=－1この方程式を解け という問題で、何回解いてもθ=π/6、

0°≦θ＜2π sinθ－√3cosθ=－1この方程式を解け
という問題で、何回解いてもθ=π/6、－π/2となってしまうのですが、答えはθ=π/6、3π/2となっています。この問題の解き方を教えて欲しいです！

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2018/06/06 18:41

ーπ/2 に2πを足せば、3π/2 と0≦θ＜2πの範囲に入ってきます。

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/06/06 14:57

0≦θ＜2π sinθ－√3cosθ=－1__＿①

を解く。
この問題を解くための次の公式を使います。
Asin(θ+δ)=Acosδsinθ+ Asinδcosθ__＿②
この式は、加法定理の式にAをかけただけですから正しい式です。
問題の式をあてはめると
Acosδ=1，Asinδ=－√3__＿③
となる。この二つの式をそれぞれ二乗してたすと、cos²δ+ sin²δ=1を使って
A²cos²δ+ A²sin²δ=1²+√3²
= A²(cos²δ+ sin²δ) = A²=4＿＿④
A=±2となるが、まずA=2の場合を計算する。
A=2＿＿⑤
A=2を③に入れると⑥になる。
2cosδ=1，2sinδ=－√3＿＿⑥
sinδ/ cosδ=tanδ=－√3
δ=－π/3＿＿⑦
およびδ=－π/3+π=2π/3__＿⑧
⑤⑦を②に入れると⑨になる。
2sin(θ－π/3)= sinθ－√3cosθ__＿⑨
⑨と①から⑩となる。
2sin(θ－π/3)=－1__＿⑩
sin(θ－π/3)=－1/2=sin(－π/6)
θ－π/3=－π/6
θ=π/6__＿⑪
⑤⑧を②に入れると⑫になる。
2sin(θ+2π/3)=－sinθ+√3cosθ__＿⑫
これは①に適合しないが、⑤を変更してA=－2とすると①に適合する形になり、⑬となる。
－2sin(θ+2π/3)= sinθ－√3cosθ__＿⑬
⑬と①から⑭となる。
－2sin(θ+2π/3)=－1__＿⑭
sin(θ+2π/3)=1/2=sin(π/6)
θ+2π/3=π/6
θ=－2π/3+π/6=－3π/6=－π/2__＿⑮
しかし、問題の条件に0≦θ＜2πの条件があるので、これは解ではない。
θに周期2πをたしても、すべての式が同じように成立して
θ=－π/2+2π=3π/2__＿⑯
が解である。
あなたはほとんどすべて正しく計算した。自信を持ってください。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/06/06 14:13

画像のように三角方程式につきものの単位円では

－π/2、3π/2の動径はぴったり重なり一致します。
だから、 sinθ－√3cosθ=－1を解いたら、その解を一旦メモ用紙の単位円に書く、
またはイメージするようにして
0°≦θ＜2πの範囲ではどのような弧度（ラジアン）になるか検討をつけるようにしてみてはいかがでしょうか。
そして、今回のようにθ=π/6、－π/2ではθ=－π/2は指定の範囲からはみ出ている、
と分かった場合は空欄補充形式なら指定の範囲の角度に修正すれば良いです。

記述式ならば角度の範囲を正確に把握しながら書きすすめる必要があります。
sinθ－√3cosθ==2(1/2sinθ－√3/2cosθ)=2sin(θ-Π/3)=－1
sin(θ-Π/3)=－1/2
★★0≦θ＜2πより-Π/3≦θ-Π/3＜5π/3だから
θ-Π/3=(7/6)Πor・・・①
θ-Π/3=(-1/6)Π・・・②★★
>>>ここでθ-(Π/3)=(11/6)Πなどとしてしまうと-Π/3≦θ-Π/3＜5π/3からはみ出るから、その結果も指定の範囲からはみ出てθ=13Π/6なんていうのが出てきてしまいます。
範囲が正しい①②からθ=3π/2、π/6が出てきます。
質問者さんも★★から★★までのところを正確にやれば－π/2という答えは出てこなくなるはずです！＾＾

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/06/06 13:07

0≦θ＜2π　という条件がありますので、この範囲での回答を見つけなくてはいけません。

sinθ＝sin(θ+２π), cosθ＝cos(θ+２π)ですので、、
-π/2+2π＝3π/2　です。