数Ⅲの問題で質問があります。 x≧1のとき、xlogx≧（x－1）log（x+1） が成り立つことを

数Ⅲの問題で質問があります。

x≧1のとき、xlogx≧（x－1）log（x+1）
が成り立つことを証明しなさいという問題について。
画像波線部分の意味がそれぞれわかりません。

x>1について、
なぜ元々x>0と与えられている定義域をx>1に狭めて定義し直しているのか。そもそもなぜx>1を表記する必要があるのか。

≧0について、
求めたg'（x）>2/（x+1）-1/x=x-1/x（x+1）はx>1としたうえで成立するわけだから、x≠1より≧0とはならないのではないか。

理解が出来ずもやもやしてます。どなたか回答お願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 記入忘れました。
  （1）にて、「x>0のとき、log（x+1）－logx<1/x」が証明されていますので、これを利用することが出来ます。

    補足日時：2018/08/20 12:15

• アプリの不具合のためかmasterkotoさんに返信が出来ませんのでここでおれいさせていただきます。関数の定義について知識が皆無でした。調べた結果しっかり理解に追いつきました！ありがとうございました！！

    補足日時：2018/08/21 12:36

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/08/20 15:31

パッと見ただけではありますが

1番目の質問は定義(?)に起因すると思われます
ある開区間で常にf'(x)＞０ならばf(x)は増加し、その逆ならばf(x)は減少する・・・①
つまり開区間a<x<bでf'(x)＞０ならば、閉区間a≦x≦bでf(x)は単調増加(定義？）　ということ
(正確な文言や、そもそもこれが定義であるか　ということはご自分で確認してみてください。・・・ど忘れしてしまいました。しかしこのような文言が存在するのは確かなことです！)


本問では（開区間ですから=は含まず）
開区間x＞1でg'(x)>0が示せるので
閉区間（左側に関しては閉区間）x≧１でg(x)は単調増加　
ということだと思いますよ。
ですから、x≧1でg'(x)>0とするのは減点になるかもです。誤植という事でもないと思いますよ。

No.6 回答者： tantanmm 回答日時： 2018/08/20 17:57

#2です

#3 masterkotoさんの回答みて鱗が落ちました．
たしかに，単調増加を示す定義から求めているので，
定義に合わせるために あえて「x>1」にしているかもしれないですね．

ただ，それでもやはり
定義では成り立つ場合を広くするために開区間と表記すると理解しているので，
今回の場合は 「x≧1」 と記載しても良さそうなものですけれどね
後の「≧１」も・・．

とはいえ，#3 さんに１票です．

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！このページ内の議論をみて理解に追いつくことができました！
励ましの言葉もご丁寧に書いていただきありがとうございます！勉強頑張ります！

お礼日時：2018/08/21 12:25

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/08/20 17:40

あ, 間違えた.

#4 の「x<0 となりうる, といいたい?」の部分は間違いです. 「x-1/x（x+1）<0 となりうる, といいたい?」で置き換えてください.

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/08/20 17:38

「x≠1より≧0とはならないのではないか。

」とはどういうことでしょうか?

x<0 となりうる, といいたい?

この回答へのお礼

そうではありません。x-1/x（x-1）=０となるとき、x=1であるが、これは前行で示したx>0を満たさないため、x-1/x（x-1）>0なのではないか、ということでした。
議論の中で解決出来ました！お時間割いていただきありがとうございました！！

お礼日時：2018/08/21 12:34

No.2 回答者： tantanmm 回答日時： 2018/08/20 14:18

初めの 「x>1」は 「x≧1」の誤り（印刷校正ミス？）ではないかと思います．

＞ なぜ元々x>0と与えられている定義域をx>1に狭めて定義し直しているのか。
全ての場合について成り立つ式ではないので，当然 成り立つ条件を書く必要があります．
元々x>0 ですが，ここでは，「問題(2)で対象としている場合には成り立つ」という意味で，私でも「x≧1」と書くかな．

＞ ≧0について、
書いたように，初めの 「x>1」が 「x≧1」の誤りであれば疑問にならないと思います．


ネットには良く考えもしないで幼稚な質問をする人もいる中で，
あなたの疑問はもっともだと思います．文章の書き方もしっかりしている印象を受けます．
がんばってください．