物理数学のポテンシャル 次の問題がわからないです ベクトルを示す方法をr↑とします。 r↑=(x,y

物理数学のポテンシャル

次の問題がわからないです
ベクトルを示す方法をr↑とします。
r↑=(x,y,z)、r↑=|r|として次式を示せ。ただし、r≠0とする。

(1)∇*2(1/r)=0

(2) ∇•r↑=3

(3) ∇×r↑=0↑

お願いします。出来れば式もお願いします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/10/26 10:04

(1) の「∇*2(1/r)」の意味が不明ですが、「∇（ナブラ）の2乗＝∇^2=∇･∇」でしょうか？

また、出題文の中の「r↑=|r|として」は「|r↑| = r として」の間違いでしょうか？

なかなか回答が付かないので上記の前提で回答しますが、だとするとポテンシャルとは直接関係ない、単なる∇（ナブラ）の演算の基本例題ですね。
そもそも「∇（ナブラ）」の定義やベクトルの内積、外積はご存じなのですか？
知らないのならテキストで勉強するのが先決です。

(1) r = (x^2 + y^2 + z^2)^(1/2) ですから、1/r = (x^2 + y^2 + z^2)^(-1/2) で
　(∂/∂x)(1/r) = (-1/2)(x^2 + y^2 + z^2)^(-3/2) *2x = -x(x^2 + y^2 + z^2)^(-3/2)
　(∂²/∂x²)(1/r) = (∂/∂x)[ (∂/∂x)(1/r) ] = -(x^2 + y^2 + z^2)^(-3/2) + x(3/2)(x^2 + y^2 + z^2)^(-5/2) *2x
　　　　　　　= -(x^2 + y^2 + z^2)^(-3/2) + 3x^2 (x^2 + y^2 + z^2)^(-5/2)
y, z についての偏微分も対称形になるので
　∇^2(1/r) = (∂²/∂x²)(1/r) + (∂²/∂y²)(1/r) + (∂²/∂z²)(1/r)
　　　　　　= -3(x^2 + y^2 + z^2)^(-3/2) + 3(x^2 + y^2 + z^2)(x^2 + y^2 + z^2)^(-5/2)
　　　　　　= -3(x^2 + y^2 + z^2)^(-3/2) + 3(x^2 + y^2 + z^2)^(-3/2)
　　　　　　= 0

(2) 演算子の定義とベクトルの内積の定義どおりに
　∇•r↑ = ∂x/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z = 1 + 1 + 1 = 3

(3) 演算子の定義とベクトルの外積の定義どおりに、x, y, z 方向の単位ベクトルを ex↑, ey↑, ez↑ として
　∇×r↑ = (∂z/∂y - ∂y/∂z)ex↑ + (∂x/∂z - ∂z/∂x)ey↑ + (∂y/∂x - ∂x/∂y)ez↑
　　　　= 0ex↑ + 0ey↑ + 0ez↑
　　　　= 0↑