問) 4点O(0,0,0)、A(1,2,0)、B(2,0,-1)、C(0,-2,4)を頂点とする四面

問) 4点O(0,0,0)、A(1,2,0)、B(2,0,-1)、C(0,-2,4)を頂点とする四面体OABCについて考える。

(1)頂点Oから平面ABCに垂線OHを下ろしたとき、点Hの座標を求めよ。

(2)→OHの大きさを求めよ。(→はベクトルです)

(3)△ABCの面積を求めよ。また、四面体OABCの体積を求めよ。

解説お願いします。

No.3 回答者： think2nd 回答日時： 2018/11/07 15:16

あなたが、一般の質問者で、この問題を質問していると仮定して、解説します。

だから公式をご理解の上での回答です。
以下のようになります。(1)(2)(3)をまとめて解説しますね。

1　3点ABCを含む平面αに垂直なベクトルを求めるため
　　→BC=(-2　-2　5)と→BA=(-1　2　1)　から　外積を求めて
　　(→BC)×(→BA)=(-12　-3　-6)=ｰ3(4　1　2)…③
　　より平面の法線ベクトルの一つとして(4　1　2)…①　が見つかります。

2　続いて　3点ABCを含む平面α　の方程式を求めましょう。4×4の行列式を作って、それを計算して
　　[x　　y　　z　　1]
　　[1　　2　　0　　1]
　　[2　　0　　-1　　1]=0
　　[0　　-2　　4　　1]

　　　∴　4x+y+2z-6=0…②　と求まります。(平面の方程式は三点A,B,Cを通って①に垂直な平面として解くこともできます。)

3　方向ベクトルが①で原点を通る直線の方程式は
　　x/4=y/1=z/2ですからkと置いて　X=4k,y=k,z=2kを②に代入すればHの座標が求まります
　　H(8/7,2/7,4/7)　　当然|→OH|=(2√21)/7で求まります。
4　△ABCの面積SはNO2のmast・・さんのパクリで
　　　S=(1/2)[√{(→BC)×(→BA))^2-(→BC,→BA)^2}]で求まりますが
　　　③を使えば
　　　S=(1/2)|(→BC)×(→BA)|=(3/2)√(21)
5　4面体OABCの体積Vなど
　　　　　　 |[0 -2 4]|
　　　V=1/6|[2 0 1]|　=3
　　　　　　|[1 2 0]|

　と簡単に求まります。いったいどこを解説したらよいのでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうこざいます！

お礼日時：2018/11/07 17:29

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/11/07 12:39

ベクトルの矢印は省略

OH=(x,y,z)とする
AB=(1,-2,-1)
BC=(-2,-2,5)
CA=(1,4,-4)
垂直なベクトル同士の内積=0　から
OH・AB=(x-2y-z)=0
OH・BC＝０
OH・CA=0
⇒変数3つの式が３つ出来たのでこれを解けばx,y,zが求まるはずです。
Hの座標は(x,y,z)

(2) |OH|²=x²+y²+z² より
|OH|=√(x²+y²+z²)　に
(1)の結果を代入します

(3) △ABC=(1/2)|AB||AC|sinA　←←←AB,ACはベクトル
=(1/2)√(|AB|²|AC|²sin²A)
=(1/2)√{|AB|²|AC|²(1-cos²A)}
=(1/2)√{|AB|²|AC|²-(|AB||AC|cosA)²}
=(1/2)√{|AB|²|AC|²-(AB・AC)²}
　　　　　　　　　　　　↑内積
より　面積に関する準公式　：△ABC==(1/2)√{|AB|²|AC|²-(AB・AC)²}が導かれるのでこれを知っていると便利です。
この準公式に(1)で求めた各ベクトルの成分を当てはめれば、比較的簡単に△ABCの面積が求まることでしょう！

次に 前述の結果を用いて
　四面体の体積=底面積x高さx(1/3)=△ABC・|OH|・(1/3)　を計算すれば　答えが出るはずです。

この回答へのお礼

ありがとうこざいます！
助かりました！！

お礼日時：2018/11/07 17:28

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/11/07 01:29

どこがわからないんでしょうか?