数Ⅲの問題です 数直線上を運動する点Pの時刻tにおける速度が2t^2-2であるとする。また、t=0に

数Ⅲの問題です

数直線上を運動する点Pの時刻tにおける速度が2t^2-2であるとする。また、t=0において点Pは原点0にいる。点Pのt=3における位置を求めよ。

この問題の解き方がよく分からないので解説おねがいします…！

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/11 11:29

予備知識：

Pの時刻ｔにおける位置(座標）をxとするとき
xはｔの関数としてx=f(t)と表せます。
ここで理解を助けるために、x=f(t)に関して縦軸がx,横軸がｔのグラフをイメージ！
（参考:見慣れたy=f(x)のグラフ・・・①なら縦軸：ｙ横軸：ｘ、
x=f(t)のグラフは①の文字が置き換わっただけのこと）
例えば、t=0のPの位置を原点として、一定の速さVで移動する場合なら、
x=f(t)=Vt (x=Vt⇔等速直線運動）という関係になる。このケースではxはｔの一次関数でグラフは直線
また、t=0にPは原点に静止していて、一定の加速度aで移動する場合なら、
x=f(t)=(1/2)at²（x=(1/2)at²　等加速度直線運動）と言う関係になり、ｘはｔの二次関数でグラフは放物線

次に、時刻t(位置x=f(t)）と、それから時間Δｔが経過したときの時刻t+Δｔ(位置x=f(t+Δｔ)）について考える
このとき、xの増加量Δxは
Δx=f(t+Δｔ)-f(t)
言うまでもなくtの増加量はΔt
これを用いると
平均の速度=Δx/Δt
これはグラフ上に２点(t,f(t))と(t+Δｔ、f(t+Δｔ))をとった場合、この２点を通る直線の傾きを表す。
この時間の増加量を限りなく小さくしていくと、これは時刻tにおける（瞬間の）速度をあらわし
式では、v(時刻ｔの速度）=Lim[Δt→0]Δx/Δt=dx/dt=f'(t)・・・②　となる
グラフ上ではΔt→0とすると、先に考えた２点間の距離が限りなく近づくので、②は点(t,f(t))における接線の傾きになる　という事は微分の単元の初めの方で既習と思います。
つまり、グラフの傾き=dx/dt=f'(t)=瞬間の速度　という事になります。


さて、本題
v=（V(t)＝)f'(t)だから
本問では
f'(t)=2t^2-2 であるということ
だからx=f(t)を知りたいなら、積分します
f(t)=∫f'(t)dt=∫(2t^2-2)dt=(2/3)t^3-2t+C
t=0において点Pは原点0にいるから
f(0)=(2/3)x0^3-2x0+C=0
∴C=0
∴f(t)=(2/3)t^3-2t
従ってt=3のときの位置は
x=f(3)=18-6=12

この回答へのお礼

丁寧な説明ありがとうございます！
参考になりました！

お礼日時：2018/12/12 00:16

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2018/12/11 01:21

2t^2-2を積分して、t=0で原点なので積分定数は0

あとは積分した式にt=3を代入するだけです

この回答へのお礼

ありがとうございます！
解けました！

お礼日時：2018/12/12 00:14