数学 利子と利息に関する問題

3000万円をある年の初めに借り、1ヶ月後から月ごとにX円ずつ返済し20年で完済したい、年利率が2.5%のもと、1年ごとに複利計算をした場合、xはいくらになるか、円単位の切り上げで答えなさい。
複利計算は、年末ごとに12×X円ずつ返済するのと同じであると考える。

解答は160368円です。
この答えになる途中の計算式を教えてください。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/18 01:35

ある年の初めに A 円の借入残高があったとすると、

その年末には残高は A-12X 円になり、
翌年の初めには利子がついて (A-12X)(1+2.5/100) 円ですね。
借り入れから n 年後の年初の残高を a[n] 円と置けば、
a[0] = 30000000,
a[n+1] = (a[n]-12X)(1+2.5/100) と書けます。…(*1)
20 年後の年初が来る前に返済を終わらせたいのだから、
そこまで払ったら払い過ぎになるように
a[20] ≦ 0 となる X を求めればよいです。

(*1)の数列の求め方は、よく知られています。
数列の項を未知数で置き換えた方程式
y = (y-12X)(41/40) を作って　…(*2)
これを解くと、y = 492X です。
(*1)と(*2)を左辺どうし右辺どうし引き算すると
a[n+1]-y = (a[n]-y)(41/40) となるので、
a[20]-y = (a[0]-y)(41/40)^20 だとわかります。
この式の ^20 は 20乗 を表す記号です。
a[0]-y を 20回 41/40 倍すれば a[20]-y になるわけです。

a[20] が X を含む式で表せたので、
それを使って a[20] ≦ 0 を書き換えると
(30000000 - 492X)(41/40)^20 + 492X ≦ 0 となります。
一次不等式なので、解くことができますね。
30000000/{492・(1 - (40/41)^20)} ≦ X です。
左辺の計算には電卓が必要でしょう。
手元のPCでは、左辺≒156456.4 となります。

156457円でよいと思うのですが、解答と合いませんね？

No.3 回答者： kiyokato001 回答日時： 2019/01/18 09:25

１・(銀行融資の場合あり得ないですが）アドオンなのか否か？

２・元利均等なのか？元金均等なのか？(個人の場合元金等はあり得ないが)
問題文があまりにも稚拙です。

No.4 回答者： masandokun 回答日時： 2019/01/20 00:38

元利均等返済の公式を使うと

毎回の均等返済額=当初の借入額×返済間隔間の利率/1-(1+返済間隔間の利率)^-返済回数

年間の支払額は
30000000*.025/(1-(1.025)^-20)
=1924413.86203
これを12で割って

160367.821836