漸化式の上の問題と下の問題、下の問題だけ後ろの方-3(n-1)になるんですけど、なんでですか？＋3n

漸化式の上の問題と下の問題、下の問題だけ後ろの方-3(n-1)になるんですけど、なんでですか？＋3nではダメなのでしょうか(下の問題途中です)

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/02/22 01:23

「＋3nではダメなのでしょうか」とはどういうことでしょうか? その場合どのような式になるのでしょうか?

No.2 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/25 18:30

差分方程式としてF(x)=a xとおけば、a 1=F(1)=3 ……(1),与式をxの関数にすれば

a x+1 ーa x=ー4x は、 即ち 差分の定義に従って
F(x+1)ーF(x)= ⊿ F(x)=ー4x ,和分すれば
∴ F(x)= ∫ (ー4x) ⊿ x +C ただし、Cは和分定数とする。
=(ー4) ∫ x ⊿x +C =(-4)∫ x〔1〕⊿ x+C
=(ー4)・x 〔1+1〕/(1+1) +C
=(ー4)・x〔2〕/2 +C
=(ー2)x(xー1)+C ,(1)より
F(1)=C=3 から、 nの関数に直して
a n=(ー2)n(nー1)+3 =ー2n^2 ＋2n+3 ……Ans1

F(x)=a xとおけば、a 1=F(1)=5 ……(2) 与式をxの関数にすれば
a x+1ーa x=2xー3 は、差分の定義から
F(x+1)ーF(x)= ⊿ F(x)=2xー3 ,和分して
∴F(x)=∫ (2xー3)⊿ x+C ,Cは和分定数
=2∫ (xー3/2) ⊿ x+C
=2∫ (xー3/2)〔1〕⊿ x+C
=2・(xー3/2)〔2〕/2 +C
=(xー3/2)(xー5/2)+C ,(2)より
F(1)=(1ー3/2)(1ー5/2)+C=(ー1/2)(ー3/2)+C=3/4+C=5 ∴C=5ー3/4=17/4
∴ nの関数に直せば
a n=( nー3/2)( nー5/2)+17/4=(2nー3)(2nー5)/4 +17/4
=n^2 ー4n +8 ……Ans2

さて、質問の答えですが、+3n ではダメですね！
Σk;1…n-1 (2kー3)=2Σk;1…n-1 (k) ー3 Σk;1…n-1 (1) となりますから

項数は、1から、nー1までの(nー1)です。
3・Σk;1…n-1 (1)=1+1+1+………+1+1 =3・(nー1) ですね！