(1)(2)解き方を教えてください！

(1)x,yは実数でx≧0,y≧0とする。3x+5y=8のとき、
√3x+√5yの最大値は？

(2)√6sinθ+√6cosθ-√2sinθ+√2cosθ
=□sin(θ+□/□π)

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/24 18:24

(1) 図を書くが吉。

(√3)x+(√5)y = c　(cは定数) の傾きは
3x + 5y = 8 の傾きより急な(絶対値が大きい)ので、
(x, y) の変域である三角形の中で
(x, y) = (8/3, 0) の頂点で c が最大と判る。
最大値は (√3)(8/3)+(√5)0 = 8/√3.

単純に (√3)(8/3)+(√5)0 と (√3)0+(√5)(8/5) を
比較するだけでも済むけど。

(2) ただの「三角関数の合成」。
まいどの手順どおりにやる。
√6sinθ + √6cosθ - √2sinθ + √2cosθ
= (√6 - √2)sinθ + (√6 + √2)cosθ

r cosα = √6 - √2,
r sinα = √6 + √2
となる r, α を見つければいい。

r^2 = (√6 - √2)^2 + (√6 + √2)^2 = 16.
r = 4 が使える。

cosα = (√6 - √2)/4 になるような α は...
知らないなあ。

sinα - cosα = (√6 + √2)/4 - (√6 - √2)/4 = 1/√2
に目をつけて、(√2)cos(α + π/4) = 1/√2 より
cos(α + π/4) = 1/2 = cos(π/3) となるから
α + π/4 = ±π/3 + 2nπ　(nは整数).
cosα, sinα の符合が正しく合うように
α = -π/4 -π/3 + 2nπ を選んで、
0 ≦ α < 2π となるように n = 1 にすれば、
α = (5/12)π.

答えは、4 sin(θ + (5/12)π).

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます！

お礼日時：2019/02/24 19:34