y＝(x-1)(x-2)(x-3)のf(x)とx軸および囲まれた斜線部の面積を教えてください。

y＝(x-1)(x-2)(x-3)のf(x)とx軸および囲まれた斜線部の面積を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/26 00:33

S = ∫[0,4] |f(x)| dx を求める問題ですね。

S = ∫[0,4] |(x-1)(x-2)(x-3)| dx
= ∫[0,1] |(x-1)(x-2)(x-3)| dx + ∫[1,2] |(x-1)(x-2)(x-3)| dx + ∫[2,3] |(x-1)(x-2)(x-3)| dx + ∫[3,4] |(x-1)(x-2)(x-3)| dx
= ∫[0,1] -(x-1)(x-2)(x-3) dx + ∫[1,2] (x-1)(x-2)(x-3) dx + ∫[2,3] -(x-1)(x-2)(x-3) dx + ∫[3,4] (x-1)(x-2)(x-3) dx
= -∫[0,1] (x-1)(x-2)(x-3) dx + ∫[1,2] (x-1)(x-2)(x-3) dx - ∫[2,3] (x-1)(x-2)(x-3) dx + ∫[3,4] (x-1)(x-2)(x-3) dx.

F(x) = ∫(x-1)(x-2)(x-3) dx = ∫(u+1)u(u-1) du　; x-2=u
= ∫(u^3-u) du = (1/4)u^4 - (1/2)u^2 + C　; Cは定数
= (1/4){ (x - 2)^2 }{ (x - 2)^2 - 2} + C

S = -{ F(1) - F(0) } + { F(2) - F(1) } - { F(3) - F(2) } + { F(4) - F(3) }
= F(0) - 2F(1) + 2F(2) - 2F(3) + F(4)
= 2 - 2(-1/4) + 2(0) - 2(-1/4) + 2
= 5.

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/02/26 22:16

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2019/02/26 00:10

囲まれる面積はx方向に平行移動しても変わらない

よって、全体を-2平行移動する
（t=x-2の置換積分でも一緒）

y = (x+1)x(x-1) =x^3-x
このグラフは原点対称
よって
S = ∫x^3-x dx (x:-1 to 0) - ∫x^3-x dx (x: 0 to 1)
= -2∫x^3-x dx (x:0 to 1)
=-2(1/4-1/2)
=1/2