xtanx=x+1 (0＜x＜π/2）内の範囲に 実数解を少なくとも1つ持つことを示せ。 という問題

xtanx=x+1 (0＜x＜π/2）内の範囲に
実数解を少なくとも1つ持つことを示せ。

という問題なのですが、解説の1行目の
区間0≦x＜π/2というのはどう出したのでしょうか。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/07 02:43

f(x) = x tan x - (x+1) = 0 となる x が少なくとも１つあることを

中間値定理を使って言いたいので、そのためには
f(a) < 0, f(b) > 0, a≦x≦b で f(x) は連続
であるような a,b を見つけたいわけです。
その a,b は、0<a,b<π/2 の範囲にある必要があります。

f(x) が連続であることを言う範囲は、a≦x≦b を含んでいればいいので、
a,b をまだ決めていない段階では、0<x<π/2 を含んでいればいいです。
特に 0≦x<π/2 である必然性はありません。
0≦x<π/2 が 0<x<π/2 に似ていることが混乱の原因になるようなら、
「f(x) は区間 -π/2<x<π/2 で連続」から話を始めてもいいでしょう。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2019/05/06 18:24

「どう出した」も何も、「xの関数xtan(x)-(x+1)は0≦x<π/2において連続である」

という自明（当たり前）のことを述べているだけのこと。
ただ、この当たり前のことが、後で中間値の定理を使う際に効いてくる。

No.1 回答者： kurokurosun 回答日時： 2019/05/06 18:11

問題文で、(0<x<n/2）内の範囲というふうに、指定されているのでは？