Aを局所環としてmを極大イデアルとする。K=A/mとするとき、m/m^2はmによって零化される。よっ

Aを局所環としてmを極大イデアルとする。K=A/mとするとき、m/m^2はmによって零化される。よってm/m^2はKベクトル空間の構造を持つ。という主張についてなぜm/m^2はKベクトル空間の構造を持つと言えるのかわかりません。

どなたかこの命題の証明を教えてください。

わかっている人にしか分からないような一二行の解答ではなく、しっかりとわかりやすい回答をお願いします。またこの証明が載っている本をご存知でしたらそちらを教えて頂けると幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/11/03 16:27

Aを局所環としてMを極大イデアルとする

K=A/Mとするとき、
Mが極大イデアルだからKは体になる

(a1)=(a2)∈K=A/M
(v1)=(v2)∈M/M^2
とすると
a1v1∈M
a2v2∈M

a1-a2∈M
v1∈M
だから
(a1-a2)v1∈M^2

a2∈A
v1-v2∈M^2
だから
a2(v1-v2)∈M^2
だから

a1v1-a2v2=(a1-a2)v1+a2(v1-v2)∈M^2
だから
(a1v1)=(a2v2)　(modM^2)
だから

スカラー(a)∈K=A/M
と
ベクトル(v)∈M/M^2
の
積
ベクトル(av)∈M/M^2
が
1つに定められるから

M/M^2はKベクトル空間の構造を持つ