（1）方程式3a-5b=1を満たす整数のうち、a²＋b²の値が最小となる解（a.b）を求めよ。 （2

（1）方程式3a-5b=1を満たす整数のうち、a²＋b²の値が最小となる解（a.b）を求めよ。
（2）上の方程式を満たす整数でa²-2b²が最小となる解（a.b）を求めよ。

どなたか教えていただけると嬉しいです(*_ _)

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/20 00:42

まず、3a - 5b = 1 を満たす a,b を求めましょう。

3×2 - 5×1 = 1 に気づいて式を引き算すると、3(a-2) = 5(b-1).
両辺の素因数分解を考えると a-2 = 5k, k は整数 と置けて、
原式へ代入すれば b-1 = 3k です。これを...

(1)へ代入すると、
a^2 + b^2 = (5k+1)^2 + (3k+1)^2 = 34k^2 + 16k + 2
= 34{ (k + 4/17)^2 + 1/17^2 }.
これが最小になるのは、|k + 4/17| が最小値になる整数 k = 0 のときで、
a^2 + b^2 = 34k^2 + 16k + 2 = 2.

(2)へ代入すると、
a^2 - 2b^2 = (5k+1)^2 - 2(3k+1)^2 = 7k^2 - 2k - 1
= 7{ (k - 1/7)^2 - 8/7^2 }.
これが最小になるのは、|k - 1/7| が最小値になる整数 k = 0 のときで、
a^2 - 2b^2 = 7k^2 - 2k - 1 = -1.