数学IIB

この問題の解説お願いします。

質問者からの補足コメント

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  上の問題の続きです。

  
    補足日時：2019/12/23 19:09

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2019/12/23 19:48

x=cos t +2 →　cos t =x-2

y=sin t -1 →　sin t =y+1
(cos t)^2 + (sin t)^2 = 1 　←　写真に書いてあるとおり代入するだけです
(x-2)^2 + (y+1)^2 = 1
中心O(2,-1)、半径r＝1の円

x-y＝cos t +2　-　sin t -1
＝cos t - sin t +3　　　←cosとsinの三角関数を纏める
=(2/√2)･((√2/2)･cos t - (√2/2)･sin t)　+3　　　←三角関数をまとめる時のテクニックですね、唐突にcosかsinのどちらかの前に√3があればπ/6やπ/3などを使うし
=(2/√2)･(sin(π/4)･cos t - cos(π/4)･sin t)　+3　　　三角関数の前にお互いに何もないので　π/4　でまとめる
=(2/√2)･sin((π/4)-t)　+3　　←　　加法定理を使って纏めた
＝√2･sin((π/4)-t)　+3
最大値　sin　が1の時、最大値　√2+3
その時のt　π/4-t＝π/2　→　-t＝π/4　→　t＝-π/4　→　sinは周期2πなので　t＝-π/4＝3π/4

(2)　は。難しい問題ではないですが、テクニックを知っているかどうかですね

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/12/23 20:03

(1) ガイド通りにやればよいだけです。

　cos(t) = x - 2
　sin(t) = y + 1
ですから
　(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1

これは、(2, -1) を中心とした、半径 1 の円ですね。

(2) x - y = [cos(t) + 2] - [sin(t) - 1] = cos(t) - sin(t) + 3　　　　②
この最大値を求めればよいわけです。

ここで、加法定理を使って１つの三角関数にまとめます。
　 cos(t) - sin(t) = √2 [(1/√2)cos(t) - (1/√2)sin(t)]
　　　　　　　　= √2 [sin(パイ/4)cos(t) - cos(パイ/4)sin(t)]
　　　　　　　　= -√2 [sin(t)cos(パイ/4) - cos(t)sin(パイ/4)]
　　　　　　　　= -√2 sin(t - パイ/4)
と書けますから、②が最大になるのは
　sin(t - パイ/4) = -1
のときで、そうなるのは
　t - パイ/4 = (3/2)パイ
のときですから
　t = (7/4)パイ
のときです。

そのときの最大値は
　x - y = √2 + 3