
A 回答 (9件)
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No.9
- 回答日時:
因数定理とは、多項式f(x)は、f(a)=0の場合、因数(x-a)を持つ
ということ。
問題の左辺はf(-4)=0だから
式をx+4で割って因数分解すれば良い。
No.8
- 回答日時:
t^6-1=0_(1) のように, t^n-1=0 の方程式を分円方程式といい、単位円をn等分する答えが出るので、正n角形が出る。
式(1)でt=x/4とすると(2)になる。x^6-4096=0_(2)
(2)は因数分解して(3)になる。さらに分解して(4)、(5)になる。2次方程式も分解して
全部で6個の解が出て、(6)になる。
x^6-4096=(x^3-64)(x^3+64)=0_(4)
=(x-4)(x^2+4x+16)(x+4)(x^2-4x+16)=0_(5)
=(x-4)(x+2-(2√3)i)(x+2+(2√3)i)
・(x+4)(x-2-(2√3)i)(x-2+(2√3)i)=0_(6)
得られる根は次の6個で、複素平面に描くと、半径4の円の上の正6角形になる。
4,-2+(2√3)i,-2-(2√3)i,-4,2+(2√3)i,2-(2√3)i
あなたの質問の方程式x^3+64=0 の解は-4,2+(2√3)i,2-(2√3)i の3個で
正三角形を作る。ドモアブルの定理などが役に立つかも知れない。

No.7
- 回答日時:
x^3 = -64 より、
x = (-64)^(1/3) = (-2^6)^(1/3) = (-2^(6/3))・1^(1/3) です。
1^(1/3) の値は、実数範囲なら、y = x^3 のグラフから判るように 1 のみだし、
複素数範囲であれば、1^(1/3) = { e^(2πin) }^(1/3) = e^(2πin/3)
= cos(2πn/3) + i sin(2πn/3). (nは整数)
つまり 1^(1/3) = 1, (1/2)+(√3/2)i, (1/2)-(√3/2)i です。
上式へ代入して、
実数の範囲では x = -4,
複素数の範囲では x = -4, -2-(2√3)i, -2+(2√3)i.

No.5
- 回答日時:
x=-4を代入すると、(-4)³+64=0
つまり(x+4)を因数に持っているのがわかる。
この続きは、x³+64をx+4で割ってやる(筆算)
商がx²-4x+16になるからx³+64=(x+4)(x²-4x+16)=0。
x=-4以外の解は、x²-4x+16=0
解の公式を使えば、ここからさらに解が2個求まる。
No.3
- 回答日時:
何が分かりませんか?
x^3 + 64 = 0
↓
(x + 4)(x^2 - 4x + 16) = 0
ですから、
x + 4 = 0 ①
x^2 - 4x + 16 = 0 ②
を満たすものが解となります。
①より
x = -4
②より、二次方程式の一般解の公式を使って
x = [4 ± √(16 - 64)]/2 = 2 ± (2√3)i
No.2
- 回答日時:
x^3+64=0
前にも質問が有ったのですが、3次式の因数分解は数が少ないので暗記して、それを応用するのが速いです。
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
と2つぐらいですから、覚えた方が良いです。
展開するのは手間さえかければ、何次でも計算ができます。
が、因数分解は中途の計算過程で、a^3 ± b^3 の ± の部分に無いものを想像しないと因数分解できません。
上に出した公式で検索すると、因数分解のやり方が出てたりしますが、質問の式は、覚えたほうが早いです
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