因数定理・高次方程式の問題なんですが、 Ｘ^3+64=0という問題を教えていただきませんか?

因数定理・高次方程式の問題なんですが、
Ｘ^3+64=0という問題を教えていただきませんか?

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/02/15 10:51

因数定理とは、多項式f(x)は、f(a)=0の場合、因数(x-a)を持つ

ということ。
問題の左辺はf(-4)=0だから
式をx+4で割って因数分解すれば良い。

No.8 回答者： majimelon37 回答日時： 2020/02/11 13:58

ｔ^６－１=0＿(１) のように, ｔ^n－１=0 の方程式を分円方程式といい、単位円をn等分する答えが出るので、正n角形が出る。

式(１)でｔ＝x/4とすると(2)になる。
x^6－4096=0＿(2)
(2)は因数分解して(3)になる。さらに分解して(4)、(5)になる。2次方程式も分解して
全部で６個の解が出て、(6)になる。
x^6－4096=(x^3－64)(x^3＋64)=0＿(4)
　　　=(x－4)(x^２＋4x+16)(x＋4)(x^２－4x+16)=0＿(5)
　　　=(x－4)(x＋２－(2√3)i)(x＋２+(2√3)i)
　　　・(x＋4)(x－２－(2√3)i)(x－２+(2√3)i)=0＿(6)
得られる根は次の６個で、複素平面に描くと、半径４の円の上の正６角形になる。
４，－２＋(2√3)i，－２－(2√3)i，－４，２＋(2√3)i，２－(2√3)i
あなたの質問の方程式x^3＋64=0　の解は－４，２＋(2√3)i，２－(2√3)i　の３個で
正三角形を作る。ドモアブルの定理などが役に立つかも知れない。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/02/05 18:25

x^3 = -64 より、

x = (-64)^(1/3) = (-2^6)^(1/3) = (-2^(6/3))・1^(1/3) です。

1^(1/3) の値は、実数範囲なら、y = x^3 のグラフから判るように 1 のみだし、
複素数範囲であれば、1^(1/3) = { e^(2πin) }^(1/3) = e^(2πin/3)
= cos(2πn/3) + i sin(2πn/3). (nは整数)
つまり 1^(1/3) = 1, (1/2)+(√3/2)i, (1/2)-(√3/2)i です。

上式へ代入して、
実数の範囲では x = -4,
複素数の範囲では x = -4, -2-(2√3)i, -2+(2√3)i.

No.6 回答者： konjii 回答日時： 2020/02/05 09:02

x^3 + 64 = 0

↓
(x + 4)(x^2 - 4x + 16) = 0
x^2 - 4x + 16は因数分解できないので、これが答え

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/02/04 19:43

x=-4を代入すると、(-4)³+64=0

つまり(x+4)を因数に持っているのがわかる。

この続きは、x³+64をx+4で割ってやる（筆算）
商がx²-4x+16になるからx³+64=(x+4)(x²-4x+16)=0。

x=-4以外の解は、x²-4x+16＝０
解の公式を使えば、ここからさらに解が2個求まる。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2020/02/04 19:14

64＝4³ ですよ。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/02/04 18:51

何が分かりませんか？

x^3 + 64 = 0
↓
(x + 4)(x^2 - 4x + 16) = 0

ですから、
　x + 4 = 0　　　①
　x^2 - 4x + 16 = 0　　　②
を満たすものが解となります。

①より
　x = -4

②より、二次方程式の一般解の公式を使って
　x = [4 ± √(16 - 64)]/2 = 2 ± (2√3)i

No.2 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/02/04 18:50

x^3+64=0

前にも質問が有ったのですが、3次式の因数分解は数が少ないので暗記して、それを応用するのが速いです。
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
と2つぐらいですから、覚えた方が良いです。
展開するのは手間さえかければ、何次でも計算ができます。
が、因数分解は中途の計算過程で、a^3　±　b^3　の　±　の部分に無いものを想像しないと因数分解できません。
上に出した公式で検索すると、因数分解のやり方が出てたりしますが、質問の式は、覚えたほうが早いです

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2020/02/04 18:28

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

の公式を使いましょう