振動数 次元解析

次元解析の問題です。求め方が分からないので教えてください。
問題

弦楽器の振動数ｆは、弦の線密度ρ、弦の長さｌ、弦の張力Sによって決まる。次元を持たない比例定数をｋとし、振動数を算出する式を求める過程を示せ。ただし、振動数はT＾－1の次元を持つ。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/05/18 12:48

弦の線密度は、「単位長さあたりの質量」なので

密度 [kg/m^3] に「断面積 m^2」をかけた ρ [kg/m]

弦の長さは L [m]
弦の張力は S [N] = S [kg･m/s^2] 　（1 [N] とは「1 kg の質量に 1 m/s^2 の加速度を生じさせる力」です）

「これ以外のパラメータは関係しない」とお墨付きをもらえれば、ある程度「次元」から振動数を算出する式を推定できますが、それだけで確定させるのは無理でしょう。

振動数は [1/s] です。（Hz という単位が [1/s] であることは分かりますね？）
時間の要素をもつのは「弦の張力」だけですから、弦の張力から √S が必要になるのは分かります。
そうすると、張力の中の [kg] を消すためには S/ρ とすることが必要で、このとき
　S/ρ [[m^2/s^2]
となるので、√(S/ρ) [m/s] の [m] を消去するために
　(1/L)√(S/ρ) [1/s]
とすれば良さそうです。
これから、無次元の比例定数 k を用いて
　f = (k/L)√(S/ρ)
と「できそう」というところまでは推測できます。