ボレル可測集合、外測度の範囲 [0,1]上の関数f(x)=sin(1/x) (0<x≦1) , 0

ボレル可測集合、外測度の範囲
[0,1]上の関数f(x)=sin(1/x) (0<x≦1) , 0 (x=0)の零点集合、即ち、{x; f(x)=0}が零集合であることを詳しく証明をして頂きたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/06/27 16:20

[0,1]上の関数

0<x≦1の時　f(x)=sin(1/x)
f(0)=0
の零点集合
{x;f(x)=0}

f(x)=0となるxは
x=0　の時か
または
0<x≦1の時
sin(1/x)=0となる時で
sin(1/x)=0となる時は
1/x=nπ　となる整数nがある時で
1/x=nπ　となる整数nがある時は
0<x=1/(nπ)≦1だから1<nπだから

{x;f(x)=0}=∪_{n=1～∞}{1/(nπ)}∪{0}
の測度
μ{x;f(x)=0}
=
μ(∪_{n=1～∞}{1/(nπ)}∪{0})
=
Σ_{n=1～∞}μ{1/(nπ)}+μ{0}

1点集合の測度=0=μ{1/(nπ)}=0=μ{0}=0だから

=0
だから
{x;f(x)=0}=∪_{n=1～∞}{1/(nπ)}∪{0}
は零集合である

この回答へのお礼

助かりました。ありがとうございました！

お礼日時：2020/06/27 17:32