積分です

1/sin^4をt＝tanxで不定積分を解いてください

質問者からの補足コメント

• テキストと答えが全然違います。たぶん式変形が違うと思います。見直ししました？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/07/15 00:28

• あと、問題はt=tanxと置換して、1/sin^4xを不定積分せよでした。間違えてすいません

    補足日時：2020/07/15 00:31

• 計算過程が知りたいから、質問しました。
  テキストの答えは -1/3cot^3x-cotx になります。
  ありものがたりさんの答えだとこれになりませんよね？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/07/15 10:33

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/15 13:30

←補足

- (2(sin^2 x) + 1)(cos x)/(3 sin^3 x) が正しいことは、微分してみれば確認できるし、
これが -(1/3)(cot^3 x) - (cot x) に等しいことは、式を引き算して整理してみれば確認できる。
文句言ってるだけじゃなく、自分でできることがあると思うよ。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/15 00:51

＞ 見直ししました？

ああ、
- t^-1 - (1/3)t^-3 + C　の先が
= - (3t^2 + 1)/(3t^3) + C
= - (3(tan^2 x) + 1)/(3 tan^3 x) + C
= - (3(sin^2 x) + cos^2 x)(cos x)/(3 sin^3 x) + C
= - (2(sin^2 x) + 1)(cos x)/(3 sin^3 x) + C　{Cは定数}.
でないといけなかったね。
マイナスを落としていた。失礼した。

ところで、君は No.1 の計算を追ってみたのかな？
君のしたいことが、質問なのか、出題と採点なのかにもよるけれど。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/14 22:55

質問は日本語でしよう。

まだ、日本に留学して日が浅いのかな？

1/sin^4 x を t = tan x という置換を用いて不定積分しなさい
という問題であれば、

sin^2 x = 1 - cos^2 x = 1 - (cos^2 x)/(cos^2x + sin^2 x) = 1 - 1/(1 + tan^2 x) = 1 - 1/(1 + t^2) = t^2/(1 + t^2),
dt/dx = 1/cos^2 x = (cos^2 x + sin^2 x)/cos^x = 1 + tan^2 x = 1 + t^2
を用いて置換積分すると
∫{ 1/sin^4 x }dx = ∫{ 1/( t^2/(1 + t^2) )^2 } dt/(1 + t^2) = ∫{ (t^2 + 1)/t^4 }dt
= ∫{ t^-2 + t^-4 }dt = - t^-1 - (1/3)t^-3 + C = (3t^2 + 1)/(3t^3) + C
= (3(tan^2 x) + 1)/(3 tan^3 x) + C = (3(sin^2 x) + cos^2 x)(cos x)/(3 sin^3 x) + C
= (2(sin^2 x) + 1)(cos x)/(3 sin^3 x) + C　{Cは定数}.